Obiettivi formativi
A livello di conoscenze e competenze, il corso si propone di far acquisire allo studente un'adeguata comprensione teorica degli argomenti, nonchè una buona capacità di esecuzione dei calcoli e delle procedure richieste nello svolgimento di esercizi e problemi, capacità necessaria per una efficace applicazione della matematica nei corsi caratterizzanti del piano di studi.
Altro importante obiettivo del corso è quello di far acquisire allo studente una discreta padronanza del linguaggio logico-matematico come modello di comunicazione rigorosa di contenuti scientifici.
In sintesi, alla fine del corso lo studente è in grado di:
1) Conoscere il significato e l'interpretazione degli strumenti matematici che sono oggetto del corso. Ad esempio,
conoscere il significato di derivata e saperla interpretare come tasso di crescita o come coefficiente angolare della retta tangente al grafico.
2) Eseguire i calcoli secondo le regole esposte nel corso. Ad esempio, essere in grado di applicare le regole di calcolo dell'integrazione.
3) Applicare i metodi per lo studio dei grafici di funzioni e per la loro interpretazione. Ad esempio, applicare le derivate per determinare i massimi e i minimi di una funzione.
4) Comunicare l'enunciato di un teorema con un linguaggio formalmente corretto.
Prerequisiti
Numeri interi e numeri razionali. Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado. Calcolo letterale. Nozioni elemetari di geometria analitica (piano cartesiano, rette). Prime nozioni di trigonometria.
Contenuti dell'insegnamento
Nel corso vengono trattati i concetti ed i metodi di base del calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale:
insiemi numerici, successioni, limiti, grafici di funzioni, derivate ed integrali.
Sebbene l'esposizione degli argomenti privilegi la compresione dei concetti e le tecniche di calcolo rispetto al rigore formale, alcuni teoremi scelti con relativa dimostrazione costituiscono parte integrante del corso.
Programma esteso
1) I numeri e le funzioni reali.
Gli assiomi dei numeri reali.
Teoria degli insiemi.
Numeri naturali, interi, razionali.
Funzioni e rappresentazione cartesiana.
Funzioni monotòne.
Funzioni lineari.
Potenza, esponenziale, logaritmo.
Funzioni trigonometriche.
Il principio di induzione.
Massimo, mimino, estremo superiore, estremo inferiore.
2) Limiti di successioni.
Successioni: definizioni ed esempi.
Limite di un successione.
Successioni limitate.
Operazioni con i limiti.
Forme indeterminate.
Limiti notevoli.
Il numero e.
3) Funzioni continue.
Limiti di funzioni.
Definizione di funzione continua: esempi e proprietà.
Discontinuità.
Legame tra i limiti di funzioni e i limiti di successioni.
Il teorema di Weierstrass.
Il teorema di esistenza dei valori intermedi.
4) Derivate.
Definizione di derivata.
Significato geometrico della derivata.
Regole di derivazione.
Derivate di alcune funzioni elementari.
Derivate successive.
5) I teoremi fondamentali del calcolo differenziale.
I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Conseguenze e applicazioni.
Punti di crescenza, di decrescenza, di massimo e di minimo di una
funzione.
Funzioni convesse.
Formula di Taylor. Applicazioni al calcolo dei limiti.
6) Teoria dell'integrazione secondo Riemann.
Notazioni. Integrazione secondo Riemann.
Proprietà delle funzioni integrabili secondo Riemann.
Integrale di una funzione continua.
Integrali definiti: interpretazione geometrica.
Il teorema della media.
Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti. Integrazione per decomposizione in somma.
Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Bibliografia
P. Marcellini, C. Sbordone: Calcolo, Liguori Editore.
P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di matematica, Volume 1, parte prima e seconda, Liguori Editore.
Vinicio Villani: Matematica per discipline bio-mediche, quarta edizione, Mc Graw-Hill
Metodi didattici
1) Lezioni frontali di tipo teorico in cui vengono esposti i concetti, le regole di calcolo ed i metodi di risoluzione di problemi.
2) Esercitazioni frontali durante le quali si risolvono esercizi e problemi con i metodi visti a lezione.
3) Esercitazioni proposte per lo studio individuale (compito a casa) che verranno successivamente discusse in aula. In queste attività è richiesta la partecipazione attiva degli studenti che espongono l'elaborazione del compito.
Modalità verifica apprendimento
L'esame finale consiste in una prova scritta e in una prova orale. In alternativa alla prova scritta finale, sono previste tre prove scritte in itenire su argomenti parziali.
La prova scritta è volta ad accertare le abilità di calcolo e di applicazione dei metodi.
La prova orale è volta ad accertare le competenze teoriche e le capacità di esposizione dello studente. A tal fine, si richiede che lo studente esponga un argomento teorico a propria scelta e successivamente che dimostri un'adeguata conoscenza di almeno un altro argomento a scelta dell'esaminatore.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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