Obiettivi formativi
Conoscenze: il corso ha lo scopo di fornire gli strumenti matematici utili nelle scienze biologiche; tali strumenti verranno acquisiti tramite lo studio della teoria e lo svolgimento di numerosi esercizi.
Capacità di comprensione: viene curata l’acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, viene stimolata la capacità di esprimere contenuti in modo chiaro e lineare, vengono sottolineati i collegamenti tra le diverse parti del corso.
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di affrontare autonomamente lo studio di funzioni reali di variabile reale e di calcolare integrali.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso intende fornire gli strumenti essenziali del calcolo matematico. Nella prima parte del corso si ripassano alcune nozioni fondamentali di Algebra, di geometria analitica, di trigonometria; nella seconda parte del corso si sviluppa l’analisi infinitesimale delle funzioni di una variabile reale, per concludere poi con le nozioni base del calcolo integrale.
Programma esteso
Nozioni Preliminari
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto.
Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica.
Diagrammi di Eulero-Venn.
Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori.
Prodotto cartesiano di due o più insiemi.
Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni.
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali.
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri.
Valore assoluto. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni. Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione.
Geometria della retta e del piano.
Numeri reali e geometria della retta.
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano.
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta.
Funzioni:
Definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una funzione.
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = xa, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze.
Potenze a esponente razionale.
Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed a compreso tra 0 e 1. La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo.
Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche.
Limiti di funzioni e Funzioni Continue.
Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio.
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass.
Successioni.
Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Applicazioni in dinamica di popolazione.
Definizione di limite per una successione. Studio di successioni monotòne.
Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni.
Calcolo differenziale e Studi di Funzione.
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata.
Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy).
Segno della derivata e monotonia.
Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso.
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti.
Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con resto.
Calcolo Integrale.
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità.
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue.
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media.
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti.
Bibliografia
Il testo di riferimento consigliato, contenente numerosi esercizi, è
- Angelo Guerraggio, Matematica per le Scienze, Pearson (con possibilità di accesso a piattaforma elettronica Mymathlab per esercitazioni)
Per il recupero delle nozioni di base indispensabili per affrontare un corso di matematica a livello universitario sono consigliati i testi:
- Roberto D'Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education.
- Giuseppe De Marco, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli.
Altri libri di testo consultabili (in ordine crescente di difficoltà):
- P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori.
- M. Abate, Matematica e Statistica (Le basi per le scienze della vita), McGraw-Hill.
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale. Durante il corso verranno proposti e risolti numerosi esercizi, e verrà svolta attività di tutoraggio.
Modalità verifica apprendimento
Le conoscenze acquisite e la capacità di comprensione dei concetti trattati verranno verificati attraverso un esame scritto.
Il superamento dell’esame è subordinato alla verifica delle seguenti competenze:
acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, capacità di risolvere esercizi
