Obiettivi formativi
L'insegnamento di Matematica per SG ha come obiettivo quello mettere lo studente in condizione di elaborare autonomamente e interpretare, sia qualitativamente che quantitativamente, dati sperimentali e/o semplici modelli matematici delle scienze applicate.
I risultati di apprendimento attesi sono:
(1) Conoscenze e capacità di comprensione: Conoscenza delle tecniche di base del calcolo differenziale e dei principi della programmazione lineare;
(2) Capacità applicative: Applicare i principi del calcolo differenziale all'analisi di semplici modelli biologici, fisici ed economici. Usare e manipolare formule ed equazioni gestendone agevolmente le relative unità di misura
(3) Autonomia di giudizio: Valutazione ed interpretazione di modelli matematici. Vautazione e interpretazione di dati sperimentali.
(4) Comunicazione scritta e orale attraverso il lessico scientificamente corretto della materia.
(5) Sviluppare un approccio scientifico nell’esecuzione di esperimenti e nella formalizzazione matematica dei loro risultati. Capacità di svolgere proficuamente i corsi di Laurea Magistrale della classe LM70 e in particolare al corso di Laurea Magistrale in Scienze e Tecnologie Alimentari
Prerequisiti
Matematica della scuola superiore.
Contenuti dell'insegnamento
Conoscenze e metodi di base del calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale: insiemi numerici, successioni, limiti, grafici di funzioni, derivate ed integrali. Introduzione alla programmazione lineare in due e tre variabili. Benché l'esposizione degli argomenti privilegi la comprensione dei concetti e le tecniche di calcolo rispetto al rigore formale, alcuni teoremi scelti, con relativa dimostrazione costituiscono comunque parte integrante del corso.
Programma esteso
Prima parte: Teoria degli insiemi: appartenenza, inclusione, intersezione, unione, complementare, prodotto, quantificatori. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Piano cartesiano: coordinate, distanza, equazione di una retta, rette parallele, perpendicolari, retta per due punti, sistemi lineari e intersezione di rette, disequazioni e semipiani. Funzioni: dominio, codominio, grafico, immagine, controimmagine, funzione iniettiva, suriettiva, composta, inversa. Funzioni reali di variabile reale: lineari e affini, valore assoluto, potenza, polinomiali, razionali, somma e prodotto, a tratti, domini, disuguaglianza triangolare. Trigonometria: cerchio, angoli, seno, coseno, tangente, formule di addizione, funzioni limitate, pari e dispari, periodiche, equazioni e disequazioni trigonometriche. Limiti: definizione, operazioni, limiti notevoli di seno e coseno, limiti di funzioni razionali, forme indeterminate. Esponenziale e logaritmo: definizione, proprietà, funzioni crescenti e decrescenti, limiti notevoli. Continuità: funzione continua, punti di discontinuità, teorema permanenza del segno, teorema di Weierstrass, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi. Derivabilità: rapporto incrementale, funzione derivabile, significato geometrico, retta tangente al grafico, derivata di somma, prodotto, quoziente, polinomi, funzioni trigonometriche, composizione, inversa, funzioni trigonometriche inverse, esponenziale e logaritmo, funzione potenza ad esponente reale. Monotonia: massimi e minimi, teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, criteri di monotonia, caratterizzazione funzioni costanti, funzioni concave e convesse, studio del grafico di una funzione, punti di flesso.
Seconda parte: Integrali: primitiva, proprietà integrali indefiniti, integrazione per parti, integrali per sostituzione, calcolo di alcuni integrali. Integrali definiti: definizione intuitiva, proprietà, teorema della media, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrale definiti per sostituzione. Metodi di integrazione: per parti, sostituzione, seno e coseno iperbolico, funzioni razionali, integrali definiti.
Spazi vettoriali reali: definizione, piano e spazio euclideo, sottospazio vettoriale, prodotto scalare, norma, distanza, sottospazio ortogonale, proiezione ortogonale, disuguaglianza di Schwarz, disuguaglianza triangolare, vettori linearmente indipendenti. Matrici: somma, prodotto, trasposta, determinante, rango. Sistemi lineari: operazioni di riga, matrice a scala, algoritmo di gauss, teorema di Rouché-Capelli. Programmazione lineare: funzione lineare, vincolo lineare, programma di ottimizzazione lineare, metodo grafico, metodo del simplesso, esercizi su modello di produzione e dieta.
Bibliografia
A. Guerraggio: Matematica per le scienze, seconda edizione, Pearson Editore.
Note del docente.
Metodi didattici
Il corso si svolgerà in presenza. Durante le lezioni verranno proposti gli argomenti del corso dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, applicazioni, ed esercizi. La discussione di esempi ed esercizi è di fondamentale importanza per comprendere i concetti matematici astratti. Per queste ragioni, il corso si avvarrà anche di esercitazioni erogate nell'ambito del "Progetto IDEA".
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento prevede un esame finale comprendente una prova scritta e un colloquio orale. Potrebbero essere previste due prove intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento dell'esame. La prova scritta è volta ad accertare le abilità di calcolo e di applicazione dei metodi. La prova orale è volta ad accertare le competenze teoriche e le capacità di esposizione dello studente, utilizzando un linguaggio appropriato ed un formalismo matematico corretto.
