Obiettivi formativi
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria delle algebre di Lie.
Prerequisiti
Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra, Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B) e possibilmente Geometria Differenziale (corsi Geometria 2A e 2B).
Contenuti dell'insegnamento
Le algebre di Lie sono degli oggetti fondamentali della Matematica e della Fisica. Il corso è una introduzione alla teoria delle algebre di Lie e delle loro rappresentazioni. I maggiori obiettivi del corso sono il teorema di classificazione delle algebre di Lie semplici complesse e la formula dei caratteri di Weyl.
Programma esteso
Fondamenti di Algebre di Lie: elementi di base; rappresentazioni di algebre di Lie; algebre universali; teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt.
Algebre di Lie semisemplici: algebre di Lie risolubili e nilpotenti; teoremi di Lie e di Engel; algebre semisemplici e riduttive; criterio di Cartan; forma di Killing e decomposizione di Jordan; teorema di Whitehead e teorema di Weyl sulla completa riducibilità; struttura delle algebre di Lie semisemplici; sistemi di radici; gruppo di Weyl; classificazione delle rappresentazioni irriducibili; formula dei caratteri di Weyl.
Bibliografia
Il riferimento principale è il libro di James Humphreys "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory".
Metodi didattici
Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. La frequenza delle lezioni è fortemente consigliata.
Modalità verifica apprendimento
L'esame è strutturato in due parti. La prima parte dell'esame consisterà nello svolgimento di 30 esercizi a scelta tra quelli assegnati durante il corso. La prova orale consisterà in un seminario di approfondimento di circa 30 min, corredato da una breve relazione, su un argomento concordato con il docente. Al termine della presentazione verrà richiesto allo studente di illustrare la soluzione di uno degli esercizi presentati.
Altre informazioni
I programmi dei corsi di Algebra Superiore 1 ed Algebra Superiore 2, per quanto indipendenti uno dall’altro, sono complementari e si integrano a vicenda. La frequenza di entrambi i corsi (quando possibile) può quindi rivelarsi utile per un apprendimento ottimale ed è fortemente consigliata.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
