ALGEBRA SUPERIORE
cod. 1006007

Obiettivi formativi

Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria delle algebre di Lie.

Prerequisiti

Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra, Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B) e possibilmente Geometria Differenziale (corsi Geometria 2A e 2B).

Contenuti dell'insegnamento

Le algebre di Lie sono una delle strutture matematiche più affascinanti e profonde, fondamentali in molteplici ambiti della matematica e della fisica teorica. Nate dall’analisi dei gruppi continui di trasformazioni (i gruppi di Lie), sono oggi indispensabili nello studio della geometria differenziale, della teoria dei sistemi dinamici, e delle simmetrie nelle teorie fisiche. Questo corso offre agli studenti gli strumenti per comprendere i concetti chiave della teoria delle algebre di Lie e delle loro rappresentazioni, fornendo una solida base per sviluppi avanzati e applicazioni interdisciplinari.

Programma esteso

Fondamenti di Algebre di Lie: elementi di base; rappresentazioni di algebre di Lie; algebre universali; teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt.

Algebre di Lie semisemplici: algebre di Lie risolubili e nilpotenti; teoremi di Lie e di Engel; algebre semisemplici e riduttive; criterio di Cartan; forma di Killing e decomposizione di Jordan; teorema di Whitehead e teorema di Weyl sulla completa riducibilità; struttura delle algebre di Lie semisemplici; sistemi di radici; gruppo di Weyl; classificazione delle rappresentazioni irriducibili; formula dei caratteri di Weyl.

Bibliografia

Il riferimento principale è il libro di James Humphreys "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory".

Metodi didattici

Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. La frequenza delle lezioni è fortemente consigliata.

Modalità verifica apprendimento

L'esame è strutturato in due parti. La prima parte dell'esame consiste nella consegna delle soluzioni di 30 esercizi a scelta tra quelli assegnati durante il corso. La seconda parte è consiste in un seminario di approfondimento di circa 30 min, corredato da una breve relazione, su un argomento concordato con il docente. Al termine della presentazione verrà richiesto allo studente di illustrare la soluzione di uno degli esercizi presentati.

Altre informazioni

I programmi dei corsi di Algebra Superiore 1 ed Algebra Superiore 2, per quanto indipendenti uno dall’altro, sono complementari e si integrano a vicenda. La frequenza di entrambi i corsi (quando possibile) può quindi rivelarsi utile per un apprendimento ottimale ed è fortemente consigliata.

Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile