Obiettivi formativi
La teoria dei campi e' il quadro generale in cui sappiamo inquadrare lo stato attuale delle nostre conoscenze della fisica delle particelle elementari. Essa e' anche un linguaggio assai generale, che fornisce un formalismo utilissimo alla soluzione di problemi in campi diversi. Il corso si propone sia di porre le basi per lo studio della fisica delle alte energie, sia di far acquisire competenze metodologiche generali. Gli studenti dovrebbero acquisire strumenti (formalismo della funzione di Green, integrale funzionale) di cui dovrebbero in futuro riconoscere la potenza in molteplici applicazioni. Il loro coinvolgimento nelle sessioni di esercizi e la presentazione della soluzione di un problema assegnato sono intesi orientati all'allenamento di capacita' di comunicazione (saper argomentare in pubblico).
Prerequisiti
Meccanica quantistica, elettromagnetismo classico
Contenuti dell'insegnamento
Il contenuto principale del corso e' lo studio della teoria quantistica dei campi. Le rappresentazioni del gruppo di Lorentz e Poicare' saranno presentate accompagnate da richiami generali alla teoria dei gruppi. La teoria della funzione di Green sara' presentata in diversi contesti (meccanica quantistica non-relativistica e relativistica; teoria dei campi classici e quantistici). La teoria quantistica dei campi sara' introdotta tanto nel formalimo canonico quanto in quello di integrale funzionale, mettendo in evidenza il parallelo di quest'ultimo con la meccanica statistica. Il problema della rinormalizzazione, prima della discussione della teoria delle perturbazioni rinormalizzata, sara' giustificato euristicamente nel quadro del parallelo fra meccanica statistica e teoria quantistica dei campi in formalismo funzionale.
Programma esteso
- Richiami di meccanica classica e principio di minima azione. Equazioni di Lagrange. Deduzione delle equazioni di Lagrange di campo per un sistema di oscillatori accoppiati nel limite del numero di gradi di liberta' infinito. Teoria di campo classica: richiami di elettromagnetismo in notazione lagrangiana.
- Invarianza in teoria di campo classica: teorema di Noether e sua applicazioni alle trasformazioni di Lorentz. Richiami a gruppi ed algebre di Lie. Simmetrie interne e relative correnti conservate. Il gruppo di Poincare' e i suoi generatori.
- Integrale di cammino per la meccanica quantisitica non relativistica e relazione con il principio di minima azione classico. Deduzione della equazione di Schroedinger, introduzione di spazio di Hilbert e regole di commutazione canoniche. Sorgenti e funzionale generatore per l'integrale di cammino della meccanica quantistica.
- Il formalismo della funzione di Green per la meccanica quantistica non relativistica: il propagatore. Prescrizione per la singolarita', causalita' e teoria dell'urto; soluzione per iterazione e approssimazione di Born.
- Il formalismo della funzione di Green per la teoria di campo classica. Prescrizione delle singolarita', soluzioni ritardate e avanzate e applicazione al caso della carica puntiforme in moto.
- Proprieta' di covarianza della equazione di Dirac, coniugazione di carica e CPT. Il formalismo della funzione di Green per la equazione di Dirac; prescrizione delle singolarita' da teoria delle buche di DIrac. Soluzione per iterazione per il propagatore e calcolo della matrice S. Applicazione alla sezione d'urto di Mott e all'urto elettrone-protone.
- Quantizzazione canonica del campo scalare, invarianza relativistica e proprieta' di trasformazione dei campi. Simmetrie interne. Soluzione per il campo libero, spazio di Fock, normal ordering. Campo complesso e carica conservata. Pacchetti d'onda, interpretazione particellare. Introduzione del propagatore, prescrizione di ordinamento temporale; il propagatore come funzione di Green e relativa prescrizione delle singolarita'.
- Assunzioni spettrali sullo spazio di Hilbert per la teoria interagente. Campi asintotici IN e OUT. Formule di riduzione LSZ. Funzioni di Green per la teoria interagente e soluzione per esse in rappresentazione di interazione. Teorema di Wick e grafici di Feynman nello spazio delle coordinate e dei momenti. Grafici di vuoto ed elisione dei grafici disconnessi. Conteggio di loop. Matrice S e sezioni d'urto. Campo scalare carico e sue regole di Feynman.
- Introduzione costruttiva dell'integrale funzionale per la teoria di campo scalare, regolato su reticolo e con metrica euclidea. Analogia con la meccanica statistica e introduzione di funzioni di correlazione. Calcolo del funzionale generatore libero. Introduzione nella azione del termine di interazione e grafici di Feynman. Equivalenza con la formulazione canonica della teoria dei campi: limite continuo del propagatore libero su reticolo e continuazione analitica sul tempo; matrice di trasferimento e recupero delle relazioni di commutazione canoniche. Argomentazione euristica della non banalita' del limite continuo, relazione con transizioni di fase e necessita' di un processo di rinormalizzazione.
- Grado di divergenza superificiale di un grafico di Feynman. Teorie rinormalizzabili, super-rinormalizzabili e non rinormalizzabili. Regolarizzazione dimensionale. Teoria delle perturbazioni rinormalizzata e condizioni di rinormalizzazione. Struttura ad un loop della teoria scalare con interazione quartica.
Bibliografia
Ci sono molti eccellenti libri di introduzione alla teoria dei campi. Nessuno verra' seguito in modo esclusivo. Una lista utile e' la seguente:
C. Itzykson, C. Zuber, "Quantun field theory", McGraw-Hill
M. Peskin, D. Schroeder, "An Introduction to quantum filed theory",
Addison Welsey
G. Sterman, "An Introduction to quantum filed theory", CambridgeUniversity Press
Verranno all'occorrenza forniti appunti dal docente.
Per taluni contenuti e' anche molto utile
J. Bjorken, S. Drell, "Relativistic Quantum Mechanics", Mcgraw-Hill
Metodi didattici
Alle lezioni frontali saranno affiancate sessioni di esercitazioni, il cui contenuto costituira' una parte qualificata delle competenze che lo studente e' supposto acquisire dal corso. Gli studenti saranno coinvolti direttamente nello svolgimento degli esercizi.
Modalità verifica apprendimento
Al termine del corso, prima dell'esame orale, verra' assegnato ad ogni studente un problema da risolvere. La discussione della soluzione costituira' il punto di partenza per l'esame orale; una soluzione corretta sara' prerequisito al superamento dell'esame.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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