Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire quelle conoscenze, del programma delle scuole primarie e secondarie, che sono necessarie per poter seguire i corsi del primo anno. Durante l’attività formativa lo studente avrà la possibilità di recuperare eventuali lacune o di consolidare le conoscenze di cui è già in possesso.
Al termine del corso ci si attende che lo studente sia in grado di:
Conoscenza e capacità di comprensione:
- conoscere gli insiemi numerici e le loro proprietà
- ricordare tutte le proprietà dei vari tipi di equazioni, disequazioni e sistemi
- conoscere tutta la teoria sulle funzioni
- conoscere i fondamenti della trigonometria
- aver compreso i concetti di esponenziale e logaritmo
- riconoscere le equazioni e le figure base della geometria analitica
- aver compreso la logica delle proposizioni e la teoria degli insiemi
Conoscenza e capacità di comprensione applicate:
- saper mettere in ordine i numeri, saper scomporre un polinomio
- saper svolgere calcoli con frazioni, radicali, esponenziali e logaritmi
- saper calcolare il seno, il coseno e la tangente di un angolo noto
- saper risolvere ogni tipo di equazione o disequazione, sia essa di primo o secondo grado, di grado superiore al secondo, irrazionale, trigonometrica, esponenziale, logaritmica o un sistema
- saper determinare il dominio, l’immagine e le controimmagini di una funzione di cui è assegnato il disegno del grafico, saper stabilire se una funzione è iniettiva, suriettiva, crescente o decrescente
- saper disegnare il grafico delle funzioni elementari e di una funzione definita a tratti costruita con funzioni ottenute da quelle elementari tramite trasformazioni
- saper applicare la geometria analitica all’analisi di rette, parabole, circonferenze, ellissi e iperboli
- saper analizzare e negare una proposizione e dimostrare le proprietà degli insiemi e delle funzioni
Autonomia di giudizio:
- saper affrontare un approfondimento autonomo di eventuali applicazioni all’interno dei corsi successivi
Abilità comunicative:
- aver sviluppato la capacità di lavorare sia in autonomia sia in gruppo
Capacità di apprendere:
- essere in grado di proseguire gli studi in Matematica o in altre discipline scientifiche con un buon grado di autonomia.
Programma esteso
INSEGNAMENTO: ELEMENTI DI MATEMATICA
(Corso di Laurea in Matematica 6CFU)
Contenuti:
Modulo didattico 1:
EQUAZIONI e DISEQUAZIONI
Modulo didattico 2:
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
Modulo didattico 3:
FUNZIONI
Modulo didattico 4:
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Modulo didattico 5:
GEOMETRIA ANALITICA
Modulo didattico 6:
FUNZIONI (Riepilogo)
Modulo didattico 7:
Approfondimenti di LOGICA DELLE PROPOSIZIONI - TEORIA DEGLI INSIEMI
Modulo didattico 8:
TRIGONOMETRIA
PROGRAMMA ESTESO
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Proprietà delle uguaglianze e delle diseguaglianze, passaggio al reciproco, elevamento al quadrato.
Equazioni e disequazioni di qualunque grado, fratte e prodotto, equazioni e disequazioni biquadratiche. Sistemi di equazioni e disequazioni.
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
Logica delle proposizioni: definizione di proposizione, valore di verità, esempi, connettivi logici (non, e, o), tabelle di verità, predicati, quantificatori (per ogni, esiste, esiste unico), negazione di una proposizione. Implicazione, esempi, negazione di un’implicazione, controesempio, condizione necessaria e condizione sufficiente. connettivo biimplica e negazione di un’equivalenza, principio della dimostrazione per assurdo.
FUNZIONI
Definizione di funzione, dominio, grafico, immagine, immagine e controimmagini di un elemento, funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni monotone. Legame tra monotonia ed iniettività.
Negazione di tutte le definizioni.
Funzioni definite a tratti.
Operazioni sulle funzioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, reciproco, rapporto, composizione. Effetto di tali operazioni sulle funzioni iniettive, suriettive, biunivoche e monotone.
Funzione inversa, grafico della funzione inversa.
Funzione radice quadrata, funzione radice cubica.
Semplici equazioni e disequazioni irrazionali.
Funzioni pari e dispari.
Funzione valore assoluto. Semplici equazioni e disequazioni con valore assoluto.
Ulteriori proprietà delle funzioni.
GEOMETRIA ANALITICA
Ripasso: rette e parabole.
Circonferenze: luogo dei punti, centro, raggio, equazione canonica.
Ellissi: luogo dei punti, fuochi, centro, vertici, semiassi, equazione canonica.
Iperbole: luogo dei punti, fuochi, centro, vertici, asintoti, equazione canonica.
Intersezioni tra le varie coniche.
Disequazioni in due variabili.
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Funzioni esponenziali: andamento e grafico, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
Logaritmi: definizione, semplici operazioni con i logaritmi, cambiamento di base, grafico del logaritmo con base naturale, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
FUNZIONI
Riepilogo del grafico di tutte le funzioni elementari, compresi il grafico del seno, del coseno e della tangente. Ricostruzione dell’equazione di una parabola noto il vertice.
Grafici da altri grafici: traslazioni, omotetie e simmetrie, grafico del valore assoluto di una funzione |f(x)| e di f(|x|).
Approfondimenti di LOGICA DELLE PROPOSIZIONI - TEORIA DEGLI INSIEMI
Scritture estese ed abbreviate, negazione di tali scritture.
Analisi di una proposizione e della sua negazione. Semplici dimostrazioni.
Definizione di complementare di un insieme, di unione, intersezione e differenza di due insiemi.
Definizione di inclusione e di uguaglianza tra due insiemi.
Negazione di tali definizioni.
Dimostrazione delle proprietà degli insiemi.
Insieme delle parti.
TRIGONOMETRIA
Risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche, formule di addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, prostaferesi e Werner. Dominio, grafico e immagine delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente.
INSEGNAMENTO: ELEMENTI DI MATEMATICA
(Corso di Laurea in Fisica 3CFU)
Contenuti:
Modulo didattico 1:
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Modulo didattico 2:
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
Modulo didattico 3:
FUNZIONI
Modulo didattico 4:
GEOMETRIA ANALITICA
Modulo didattico 5:
ESPONENZIALE e LOGARITMO
Modulo didattico 6:
FUNZIONI (Riepilogo)
PROGRAMMA ESTESO
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Proprietà delle uguaglianze e delle diseguaglianze, passaggio al reciproco, elevamento al quadrato.
Equazioni e disequazioni di qualunque grado, fratte e prodotto, equazioni e disequazioni biquadratiche. Sistemi di equazioni e disequazioni.
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
Logica delle proposizioni: definizione di proposizione, valore di verità, esempi, connettivi logici (non, e, o), tabelle di verità, predicati, quantificatori (per ogni, esiste, esiste unico), negazione di una proposizione. Implicazione, esempi, negazione di un’implicazione, controesempio, condizione necessaria e condizione sufficiente. connettivo biimplica e negazione di un’equivalenza, principio della dimostrazione per assurdo.
FUNZIONI
Definizione di funzione, dominio, grafico, immagine, immagine e controimmagini di un elemento, funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni monotone. Legame tra monotonia ed iniettività.
Negazione di tutte le definizioni.
Funzioni definite a tratti.
Operazioni sulle funzioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, reciproco, rapporto, composizione.
Funzione inversa, grafico della funzione inversa.
Funzione radice quadrata, funzione radice cubica.
Semplici equazioni e disequazioni irrazionali.
Funzioni pari e dispari.
Funzione valore assoluto. Semplici equazioni e disequazioni con valore assoluto.
GEOMETRIA ANALITICA
Ripasso: rette e parabole.
Circonferenze: luogo dei punti, centro, raggio, equazione canonica.
Ellissi: luogo dei punti, fuochi, centro, vertici, semiassi, equazione canonica.
Iperbole: luogo dei punti, fuochi, centro, vertici, asintoti, equazione canonica.
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Funzioni esponenziali: andamento e grafico, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
Logaritmi: definizione, semplici operazioni con i logaritmi, cambiamento di base, grafico del logaritmo con base naturale, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
FUNZIONI
Riepilogo del grafico di tutte le funzioni elementari, compresi il grafico del seno, del coseno e della tangente. Ricostruzione dell’equazione di una parabola noto il vertice.
Grafici da altri grafici: traslazioni, omotetie e simmetrie, grafico del valore assoluto di una funzione |f(x)| e di f(|x|).
PREREQUISITI
INSIEMI NUMERICI
Numeri naturali e interi: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione con quoziente e resto, divisori. Scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo, proprietà delle potenze.
Numeri razionali e reali: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, frazioni equivalenti, numeri decimali e frazioni, radice quadrata di un numero naturale, espressioni con frazioni e potenze.
Misure: di lunghezza, superficie e volume, peso e capacità, equivalenze. Aree e volumi.
Saper svolgere semplici problemi.
TEORIA DEGLI INSIEMI
Concetti di appartenenza, insieme vuoto, unione, intersezione, differenza, insieme complementare.
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI e POLINOMI
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sistemi di disequazioni in una variabile.
Equazioni e disequazioni prodotto e razionali fratte (sempre fino al secondo ordine).
Polinomi: radici di un polinomio, scomposizione, divisione tra polinomi, metodo di Ruffini.
GEOMETRIA ANALITICA
Rette: equazione implicita ed esplicita, rette orizzontali e verticali, coefficiente angolare e ordinata all’origine, saper disegnare una retta, fascio di rette per un punto, rette parallele e perpendicolari, retta per due punti, intersezione tra rette, distanza di un punto da una retta, punto medio di un segmento.
Parabole: equazione, vertice, concavità, intersezione con gli assi, saper disegnare una parabola.
TRIGONOMETRIA
Angolo, misura di un angolo, cerchio trigonometrico, seno, coseno e tangente di un angolo.
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Concetto di esponenziale, risoluzione di semplici equazioni.
Concetto di logaritmo, semplici operazioni con i logaritmi, cambiamento di base.
Bibliografia
Testi consigliati:
E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base. Pitagora Editrice, Bologna (2003).
F.G. Alessio, C. de Fabritiis, C. Marcelli, P. Montecchiari: Matematica zero, Pearson Italia, Milano-Torino (2016).
Ulteriore materiale didattico:
(disponibile nel materiale didattico del corso sulla piattaforma Elly di Matematica: https://elly2020.smfi.unipr.it/, MATEMATICA, primo anno, ELEMENTI DI MATEMATICA)
Lezioni ed esercizi sulle conoscenze preliminari.
Lezioni dell’a.a. 2017-18.
Esercizi con soluzione.
Esercizi del Tutorato a.a. 17-18 e 18-19.
Compiti degli a.a. dal 2017-18 al 2019-20 con soluzione.
Modalità verifica apprendimento
La valutazione sommativa dell’apprendimento è effettuata tramite un esame finale scritto della durata di 3 ore (2 ore per il corso di Fisica); non sono permessi libri, appunti e calcolatrice.
L’esame si svolge in presenza. Qualora a causa dell’emergenza sanitaria fosse necessario integrare con la modalità a distanza lo svolgimento degli esami di profitto si procederà con un QUIZ selettivo su Elly (domande chiuse a scelta multipla), cui seguirà la prova scritta vera e propria. Gli studenti che supereranno la prova scritta sosterranno una prova orale obbligatoria. Sulla piattaforma Elly sarà reperibile il template con tutte le istruzioni relative agli esami online.
Lo studente dovrà dimostrare di aver compreso, e di essere in grado di applicare, i concetti fondamentali di ogni argomento trattato.
La prova scritta prevede due momenti: una prova teorica rivolta agli studenti del solo Corso di Laurea in Matematica ed una prova di conoscenza applicata per entrambi i Corsi di Laurea in Matematica e Fisica. Le due prove, costituite da domande aperte, sono così formulate:
- prova teorica di conoscenza (durata 1 ora) con quesiti relativi alla logica delle proposizioni, alla teoria degli insiemi e alle funzioni
- prova di conoscenza applicata (durata 2 ore) composta da esercizi su tutto il programma svolto per entrambi i corsi di laurea in Matematica e in Fisica.
Il punteggio è assegnato su 32 punti e l’esame risulta superato con una votazione finale di 18/30.
Il programma relativo al corso di Laurea in Fisica è reperibile alla voce “programma esteso”.
Gli studenti con DSA/BES devono far pervenire ai docenti la relativa documentazione tramite gli uffici competenti.
I risultati dell’esame sono pubblicati sulla piattaforma Elly entro due settimane dalla data della prova scritta. Insieme all’esito vengono comunicati agli studenti gli orari nei quali sarà possibile visionare la prova scritta in presenza oppure online.
