Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere.
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative agli elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e della teoria delle curve in spazi n-dimensionali.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Attraverso le esercitazioni svolte in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti, quali problemi di ottimizzazione, modelli delle scienze applicate che portano alla risoluzione di equazioni differenziali o di calcolo di particolari integrali per funzioni di più variabili.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacità comunicative.
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito del calcolo differenziale e dell'integrazione per funzioni di più variabili, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso.
Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente l'inserimento nel mondo del lavoro o intraprendere percorsi di formazione successivi, nei quali sia richiesto l'uso della matematica.
Prerequisiti
E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, delle curve in R^n e delle equazioni differenziali ordinarie, integrabili elementarmente.
Programma esteso
1) Curve.
Curve orientate: semplici, chiuse, lisce e regolari; vettore tangente e retta tangente; lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve lisce; curve equivalenti e ascissa curvilinea, integrale curvilineo
2) Elementi di topologia in R^n.
Punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; insemi compatti, insiemi connessi e insieme convessi.
3) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.
Limiti e continuità: limiti per funzioni di più variabili reali; funzioni continue di più variabili reali; teoremi di Weierstrass e di esistenza degli zeri.
Calcolo differenziale: derivate direzionali e parziali, funzioni differenziabili scalari e vettoriali, gradiente e suo significato; piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione; differenziabilità della funzione composta; funzioni con gradiente nullo; funzioni differenziabili di classe C^1. Funzioni di classe C^2, teorema di Schwarz e matrice Hessiana; formula di Taylor del secondo ordine; massimi e minimi locali e globali, punti di sella; condizioni necessarie e/o sufficienti per l'ottimizzazione di funzioni; moltiplicatori di Lagrange. Campi conservativi, integrali di linea e potenziali; campi irrotazionali.
4) Integrali multipli (doppi e tripli).
Integrazione: insiemi misurabili e misura secondo Peano-Jordan; integrale e sue proprietà; funzioni integrabili; teoremi di riduazione. Cambio di variabili negli integrali multipli: teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli; cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche.
5) Equazioni Differenziali Ordinarie.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti continui, a variabili separabili, lineari di ordine n a coefficienti costanti; formula di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange. Equazioni di Bernoulli
Bibliografia
Marino Belloni, Luca Lorenzi: Analisi Matematica 2 - Teoria. Ed. Santa Croce.
Metodi didattici
Il corso prevede 6 ore di didattica frontale a settimana più 2 ore di esercizi aggiuntivi.
Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando l'aspetto teorico. A tale scopo risulteranno particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente imparerà ad applicare la teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene in forma tradizionale attraverso la valutazione di un elaborato scritto e di una prova orale. Nella parte scritta lo studente dovrà dimostrare di conoscere gli argomenti svolti e di sapere applicare le conoscenze, risolvendo esercizi sia a risposta multipla che a risposta aperta. E' prevista anche una domanda a carattere teorico (enunciato di un teorema e/o richiesta di una definizione). Sono ammessi all'orale gli studenti che abbiano preso almeno 15 nella prova scritta.
Altre informazioni
Seppure il corso non abbia obbligo di frequenza, è caldamente consigliata la frequenza del corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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