Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali dell'analisi in una variabile e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati fornitigli o da lui ottenuti.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.
Prerequisiti
Conoscenze preliminari: algebra elementare; trigonometria; geometria analitica; potenze razionali; esponenziali e logaritmi; funzioni elementari.
Contenuti dell'insegnamento
Funzioni di una variabile.
Programma esteso
Conoscenze preliminari: algebra elementare; trigonometria; geometria analitica; potenze razionali; esponenziali e logaritmi; funzioni elementari.
Logica: proposizioni e predicati; insiemi; funzioni; relazioni d'ordine e di equivalenza.
Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio; numeri interi e razionali; numeri reali; numeri complessi.
Funzioni reali: estremi di funzioni reali; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; potenze; valore assoluto; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche; grafici di funzioni reali.
Successioni: cenni di topologia; successioni e loro limiti; teoremi di confronto e teoremi algebrici; continuità; successioni monotone; teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy; esempi fondamentali; il numero di Nepero "e"; successioni definite per ricorrenza; successioni complesse.
Funzioni continue: limiti di funzioni; continuità; prime proprietà delle funzioni continue; funzioni continue su un intervallo; funzioni uniformemente continue; infinitesimi.
Derivate: definizione di derivata e prime proprietà; operazioni algebriche sulle derivate; derivate e proprietà locali delle funzioni; teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy; forme indeterminate e sviluppi asintotici (Teoremi di Taylor con resto di Peano e di Lagrange); funzioni convesse; studio qualitativo delle funzioni.
Integrazione: definizione di integrale e prime proprietà; teorema fondamentale del calcolo e teorema di Torricelli; primitive; metodi di integrazione; integrali generalizzati: definizioni, convergenza e teoremi di confronto; integrazione delle funzioni razionali.
Serie: definizione di serie e prime proprietà; criteri di convergenza per serie a termini non negativi; serie a termini di segno alternato.
Dato il numero esiguo di ore a disposizione, solo alcuni degli enunciati principali sono dimostrati in maniera rigorosa.
Bibliografia
Per la parte teorica e gli esercizi di base:
E. ACERBI e G. BUTTAZZO: "Primo corso di Analisi matematica", Pitagora editore, Bologna, 1997
D. MUCCI: “Analisi matematica esercizi vol.1”, Pitagora editore, Bologna, 2004
Per gli esercizi da esame:
E. ACERBI: "Esami di Analisi Matematica 1", Pitagora Editore, Bologna, 2012.
Metodi didattici
Modalita' di insegnamento:
Se le condizioni lo permetteranno, lezioni in presenza. A disposizione degli studenti saranno fornite lezioni preregistrate, integrate con dispense del corso. Attività integrativa di esercitazione in presenza.
Modalità d'esame:
Prova scritta (divisa in due parti) seguita da prova orale.
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto e orale a fine corso.
Le conoscenze e la capacità di comprendere sono verificate la prima con la gestione dell'esame orale e le seconde con la decodifica del testo dei problemi.
La verifica delle competenze è demandata alla risoluzione dei problemi proposti.
L'autonomia di giudizio è verificata se lo studente è in grado di selezionare le risposte plausibili da quelle implausibili.
Le capacità di comunicare sono verificate valutando il modo e la correttezza dell'espressione, sia scritta che orale, dei concetti matematici.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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