Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali dell'analisi in una variabile e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati fornitigli o da lui ottenuti.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.
Prerequisiti
Matematica dei primi anni delle scuole superiori (contenuti del precorso).
Contenuti dell'insegnamento
Funzioni di una variabile.
Programma esteso
Conoscenze preliminari: algebra elementare; trigonometria; geometria analitica; potenze razionali; esponenziali e logaritmi; funzioni elementari.
Logica: proposizioni e predicati; insiemi; funzioni; relazioni d'ordine e di equivalenza.
Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio; numeri interi e razionali; numeri reali; numeri complessi.
Funzioni reali: estremi di funzioni reali; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; potenze; valore assoluto; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche; grafici di funzioni reali.
Successioni: cenni di topologia; successioni e loro limiti; teoremi di confronto e teoremi algebrici; continuità; successioni monotone; teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy; esempi fondamentali; il numero di Nepero "e"; successioni definite per ricorrenza; successioni complesse.
Funzioni continue: limiti di funzioni; continuità; prime proprietà delle funzioni continue; funzioni continue su un intervallo; funzioni uniformemente continue; infinitesimi.
Derivate: definizione di derivata e prime proprietà; operazioni algebriche sulle derivate; derivate e proprietà locali delle funzioni; teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy; forme indeterminate e sviluppi asintotici (Teoremi di Taylor con resto di Peano e di Lagrange); funzioni convesse; studio qualitativo delle funzioni.
Integrazione: definizione di integrale e prime proprietà; teorema fondamentale del calcolo e teorema di Torricelli; primitive; metodi di integrazione; integrali generalizzati: definizioni, convergenza e teoremi di confronto; integrazione delle funzioni razionali.
Serie: definizione di serie e prime proprietà; criteri di convergenza per serie a termini non negativi; serie a termini di segno alternato.
Gli enunciati sono dimostrati in maniera rigorosa.
Bibliografia
Per la parte teorica e gli esercizi di base:
E. ACERBI e G. BUTTAZZO: "Primo corso di Analisi matematica", Pitagora editore, Bologna, 1997
D. MUCCI: “Analisi matematica esercizi vol.1”, Pitagora editore, Bologna, 2004
Per gli esercizi da esame:
E. ACERBI: "Esami di Analisi Matematica 1", Pitagora Editore, Bologna, 2012
A. COSCIA e A. DEFRANCESCHI: "Primo esame di Analisi matematica", Pitagora editore, Bologna, 1997
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni a gruppi.
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta (in due parti) seguita da prova orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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