Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere: Lo studente dovrà acquisire un’approfondita conoscenza della struttura del ragionamento matematico in generale e nell’ambito degli argomenti trattati nelle lezioni. Lo studente dovrà acquisire la padronanza degli strumenti di calcolo della matematica di base e degli altri argomenti trattati nelle lezioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente dovrà apprendere come applicare le conoscenze acquisite: per analizzare e comprendere risultati e metodologie pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni anche quando non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi; per risolvere problemi di moderata difficoltà pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni; per formulare problemi pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni in una chiara e corretta forma matematica al fine di facilitare una loro analisi e risoluzione.
Autonomia di giudizio: Lo studente dovrà essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, e delle procedure logico—deduttive applicate per passare dai primi ai secondi.
Capacità comunicative: Lo studente dovrà acquisire il lessico specifico della matematica di base e degli altri argomenti trattati nelle lezioni e la capacità di lavorare su tali argomenti sia in autonomia che in gruppo, nonché la capacità di inserirsi facilmente in ambienti di studio che si occupano di tali argomenti. Al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti gli argomenti trattati nelle lezioni sia ad un pubblico specializzato che ad un pubblico non specializzato, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento: Lo studente dovrà essere in grado di: proseguire nello studio degli aspetti più approfonditi degli argomenti trattati nel corso e di altre discipline di tipo matematico o più generalmente scientifico, con un alto grado di autonomia e con mentalità flessibile; di recuperare con facilità informazioni dalla letteratura di settore; di acquisire nuove conoscenze nell'ambito degli argomenti trattati nel corso e di altre discipline di tipo matematico o più generalmente scientifico mediante la consultazione autonoma di testi specialistici, riviste scientifiche o divulgative, anche riguardo ad argomenti al di fuori di quelli trattati strettamente a lezione, al fine di intraprendere percorsi di formazione successivi.
Prerequisiti
Nessuna propedeuticità obbligatoria.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni fondamentali, i principali risultati e le più comuni metodologie di calcolo nell’ambito della matematica di base, dell’algebra lineare, della teoria delle matrici, della geometria analitica, della teoria delle funzioni reali di una variabile reale, con particolare riguardo agli aspetti analitici e logico—deduttivi dei contenuti trattati.
Programma esteso
Insiemi: appartenenza e sottoinsiemi. Unione, intersezione, differenza, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero-Venn. Connettivi e quantificatori. Prodotto cartesiano di due o piú insiemi. Funzioni fra insiemi: dominio, codominio e immagine, grafico. Immagine e controimmagine di un elemento e di un insieme. Iniettività, surgettività, bigettività. Composizione fra applicazioni. Funzione inversa. Cenni sulle strutture di gruppo. Insiemi numerici (N, Z, Q, R) e loro proprietà principali. Operazioni e loro proprietà: proprietà commutativa, associativa e distributiva. Opposto e reciproco. Valore assoluto. Ordinamento degli insiemi N, Z, Q, R. Equazioni e disequazioni. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. Intervalli. Potenze e polinomi. Proprietà delle potenze. Operazioni sui polinomi. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Numeri reali e geometria della retta. Distanza fra due punti della retta. Geometria del piano e dello spazio cartesiano. Rappresentazione di rette, di circonferenze e di parabole nel piano, rappresentazione di rette e piani nello spazio. Parallelismo e perpendicolarità di due rette. Parallelismo e perpendicolarità di due rette.
Sistemi di equazioni lineari. Metodi di risoluzione. Metodo di Cramer e metodo di Gauss. Matrici quadrate, rettangolari e vettori riga o colonna. Operazioni tra matrici e vettori. Determinante e rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli per sistemi lineari.
Grafici delle funzioni elementari di variabile reale. Funzione identica, funzioni costanti, costanti, lineari e affini, potenze, valore assoluto, segno. Funzioni polinomiali. Esponenziale e logaritmo. La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Funzioni goniometriche. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari. Equazioni e disequazioni con le funzioni elementari. Interpretazione grafica di iniettività e surgettività. Funzioni monotòne, pari, dispari, periodiche, e loro grafici. Funzioni inverse e loro grafici. Inversa di una
funzione monotòna. Traslazioni e dilatazioni di grafici di funzioni.
Successioni e loro limiti. Successioni notevoli: successioni aritmetiche, successioni geometriche, serie.
Limiti di funzioni di variabile reale. Funzioni continue in un punto, in un insieme.
Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teorema degli
zeri e teorema di Weierstrass. Forme indeterminate e limiti notevoli.
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica
della derivata. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata.
Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni.
Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate. Segno della
derivata e monotonia. Punti di massimo e di minimo. Concavità e
convessità. Derivata seconda e punti di flesso. Teorema di de l'Hôpital e
applicazione ai limiti.
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di funzioni di una variabile reale. Condizioni per l'integrabilità.
Integrabilità delle funzioni continue. Funzione integrale. Proprietà:
additività e monotonia. Media di una funzione continua. Insieme delle
primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione
integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi
di integrazione: decomposizione in somma, sostituzione, parti.
Equazioni differenziali. Soluzioni di equazioni differenziali lineari.
Bibliografia
Bigatti A.M., Robbiano L. – Matematica di Base – Casa Editrice Ambrosiana
Languasco A. - Analisi Matematica 1. Teoria ed esercizi - Hoepli Editrice
Bigatti A.M., Tamone G. - Matematica di Base. Esercizi Svolti, Testi d'Esame, Richiami di Teoria - Soc. Ed. Esculapio
Rinaldi, M.G. , Zaccagnini A. - Esercizi per i corsi di Istituzioni di Matematiche - Azzali Editore
Vengono forniti regolarmente fogli di esercizi proposti in formato elettronico.
Metodi didattici
Lezioni teoriche in aula.
Esercitazioni in aula con svolgimento pubblico degli esercizi proposti settimanalmente. Incontri individuali di chiarimento a richiesta dello studente.
Nel caso che le aule siano inaccessibili a causa dell'emergenza Covid, lezioni e esercitazioni verranno svolte online, tramite videoconferenze Microsoft Teams.
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto finale in presenza, distinto in un questionario preliminare a risposta chiusa atto a provare la conoscenza e la capacità di comprensione teorica ed applicata degli argomenti svolti (50' per 10 domande) e un questionario aperto a risposta numerica e testuale atto a valutare l'autonomia di giudizio e l'abilità comunicativa (90' per 2 esercizi). L’accesso alla seconda parte è vincolato al superamento della prima. La valutazione è in trentesimi (max 14/30 per la prima prova, max 18/30 per la seconda prova. Un voto totale maggiore di 30 dà diritto alla lode). Sono ammesse in aula calcolatrici tascabili non grafiche e un foglio protocollo manoscritto con le formule ritenute utili. L'elaborato e la sua correzione sono consultabili dallo studente, previo accordo con il docente, fino alla data dell'appello successivo.
Nel caso che le aule siano inaccessibili per l'emergenza Covid, gli esami saranno svolti online mediante la piattaforma Elly e videoconferenza Microsoft Teams, e consisteranno in domande a risposta multipla (15 domande, 90').
Altre informazioni
I metodi didattici, ed in particolare la metodologia di esercitazione, sono focalizzati a sviluppare nello studente l'autonomia di giudizio nel verificare la propria capacita` di comprensione dei contenuti del corso, il proprio livello di conoscenza teorica e applicata e le sue capacita` comunicative nel mostrare quanto appreso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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