Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire quelle conoscenze, del programma delle scuole primarie e secondarie, che sono necessarie per poter seguire i corsi del primo anno. Durante l’attività formativa lo studente avrà la possibilità di recuperare eventuali lacune o di consolidare le conoscenze di cui è già in possesso.
Al termine del corso ci si attende che lo studente sia in grado di:
Conoscenza e capacità di comprensione:
- conoscere gli insiemi numerici e le loro proprietà
- ricordare tutte le proprietà dei vari tipi di equazioni, disequazioni e sistemi
- conoscere tutta la teoria sulle funzioni
- conoscere i fondamenti della trigonometria
- aver compreso i concetti di esponenziale e logaritmo
- riconoscere le equazioni e le figure base della geometria analitica
- aver compreso la logica delle proposizioni e la teoria degli insiemi
Conoscenza e capacità di comprensione applicate:
- saper mettere in ordine i numeri, saper scomporre un polinomio
- saper svolgere calcoli con frazioni, radicali, esponenziali e logaritmi
- saper calcolare il seno, il coseno e la tangente di un angolo noto
- saper risolvere ogni tipo di equazione o disequazione, sia essa di primo o secondo grado, di grado superiore al secondo, irrazionale, trigonometrica, esponenziale, logaritmica o un sistema
- saper determinare il dominio, l’immagine e le controimmagini di una funzione di cui è assegnato il disegno del grafico, saper stabilire se una funzione è iniettiva, suriettiva, crescente o decrescente
- saper disegnare il grafico delle funzioni elementari e di una funzione definita a tratti costruita con funzioni ottenute da quelle elementari tramite trasformazioni
- saper applicare la geometria analitica all’analisi di rette, parabole, circonferenze, ellissi e iperboli
- saper analizzare e negare una proposizione e dimostrare le proprietà degli insiemi
Autonomia di giudizio:
- saper affrontare un approfondimento autonomo di eventuali applicazioni all’interno dei corsi successivi
Abilità comunicative:
- aver sviluppato la capacità di lavorare sia in autonomia sia in gruppo
Capacità di apprendere:
- essere in grado di proseguire gli studi in Matematica o in altre discipline scientifiche con un buon grado di autonomia.
Prerequisiti
Prerequisiti minimi: conoscenze matematiche di base.
Sono molto utili tutte le ulteriori conoscenze relative alla matematica delle scuole primarie e secondarie.
Contenuti dell'insegnamento
Modulo didattico 1:
INSIEMI NUMERICI
Modulo didattico 2:
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI e TEORIA DEGLI INSIEMI
Modulo didattico 3:
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI e POLINOMI
Modulo didattico 4:
FUNZIONI
Modulo didattico 5:
GEOMETRIA ANALITICA e TRIGONOMETRIA
Modulo didattico 6:
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Programma esteso
INSIEMI NUMERICI
Introduzione degli insiemi numerici.
Numeri naturali e interi: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione con quoziente e resto, divisori. Scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo, potenze.
Numeri razionali e reali: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, frazioni equivalenti, numeri decimali e frazioni, radice quadrata di un numero naturale, espressioni con frazioni e potenze, retta reale, semplici problemi.
Misure: di lunghezza, superficie e volume, peso e capacit\`a, equivalenze. Aree e volumi.
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI e TEORIA DEGLI INSIEMI
Logica delle proposizioni: connettivi logici, proposizioni vere o false, negazione di una proposizione. Dimostrazioni, implicazioni e controesempi. Negazioni e dimostrazioni indirette.
Teoria degli insiemi: appartenenza, insieme vuoto, unione, intersezione, differenza, insieme complementare, massimo e minimo di un insieme.
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI e POLINOMI
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sistemi di equazioni lineari in due o tre variabili, sistemi di disequazioni in una variabile.
Equazioni e disequazioni razionali fratte e di terzo ordine.
Polinomi: radici di un polinomio, decomposizione in fattori, divisione tra polinomi, metodo di Ruffini.
FUNZIONI
Definizione di funzione: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche e funzione inversa.
Funzioni: dominio, grafico, immagine, punti di massimo e di minimo con i relativi valori, immagini e controimmagini, funzione radice quadrata, funzione radice cubica.
Operazioni sulle funzioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, rapporto, composizione.
Grafici da altri grafici: traslazioni, omotetie e simmetrie.
Semplici equazioni e disequazioni irrazionali. Potenze a esponente razionale. Funzione valore assoluto. Semplici equazioni e disequazioni con valore assoluto.
GEOMETRIA ANALITICA e TRIGONOMETRIA
Geometria Analitica: rette, circonferenze, parabole, ellissi, iperboli.
Trigonometria: angolo, misura di un angolo, cerchio trigonometrico, seno, coseno e tangente, risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche molto semplici, formule di addizione, sottrazione e duplicazione, dominio, grafico e immagine delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente, risoluzione di triangoli.
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Funzioni esponenziali: andamento e grafico, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
Logaritmi: definizione, semplici operazioni con i logaritmi, cambiamento di base, grafico del logaritmo con base naturale, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
Bibliografia
Testi consigliati:
E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base. Pitagora Editrice, Bologna (2003).
Ulteriore materiale didattico:
(disponibile nel materiale didattico del corso sulla piattaforma Elly di Matematica)
Lezioni dell’a.a. 2017-18.
Esercizi con soluzione.
Compiti degli a.a. 2017-18 e 2018-19 con soluzione.
Metodi didattici
Corso di Laurea in Matematica: 6 CFU, 56 ore in classe (32 ore di lezione, 24 ore di esercitazione).
Corso di Laurea in Fisica: 3 CFU, 28 ore in classe (16 ore di lezione, 12 ore di esercitazione).
Il corso si svolge dal 16 settembre al 7 ottobre 2019 con 18 ore settimanali tra lezioni ed esercitazioni nelle prime tre settimane e 2 ore di lezione il giorno 7 ottobre. Nella settimana del 7 ottobre sono previste alcune ore di esercitazioni di ripasso, un’esercitazione guidata e il primo appello d’esame (11 ottobre).
Le attività didattiche si articolano in lezioni frontali alla lavagna ed esercitazioni. Alcune ore di esercitazione sono dedicate ad esercitazioni guidate durante le quali gli studenti svolgono autonomamente o in piccoli gruppi degli esercizi proposti dal docente che passa tra i banchi aiutando nello svolgimento e chiarendo i dubbi.
Sono previste tre valutazioni formative di un’ora ciascuna (una alla settimana, il venerdì mattina prima della lezione) per valutare come procede l’apprendimento in itinere e fornire un feedback agli studenti prima dell’appello ufficiale. L’esito di tali prove non pregiudica l’esame finale.
Ad inizio corso tutto il materiale didattico viene caricato sulla piattaforma Elly: lezioni dell’a.a. 2017-18, compiti degli a.a. 2017-18 e 18-19 con soluzione, esercizi con soluzione su tutto il programma del corso. Inoltre ogni settimana sono caricate delle schede di esercizi in preparazione alla valutazione formativa di quella settimana e all’esame finale (14 schede in totale).
Per scaricare il materiale è necessaria l’iscrizione al corso on-line.
Le lezioni caricate vengono considerate parte integrante del materiale didattico.
Si ricorda agli studenti non frequentanti di controllare il materiale didattico disponibile e le indicazioni fornite dal docente tramite la piattaforma Elly.
Modalità verifica apprendimento
La valutazione sommativa dell’apprendimento è effettuata tramite un esame finale scritto della durata di 3 ore; non sono permessi libri, appunti e calcolatrice.
Lo studente dovrà dimostrare di aver compreso, e di essere in grado di applicare, i concetti fondamentali di ogni argomento trattato.
La prova scritta prevede due momenti: una prova teorica rivolta agli studenti del solo Corso di Laurea in Matematica ed una prova di conoscenza applicata per entrambi i Corsi di Laurea in Matematica e Fisica. Le due prove sono così formulate:
- prova teorica di conoscenza (durata 1 ora) con quesiti relativi alla logica delle proposizioni, alla teoria degli insiemi e alle funzioni, composta da 4 quesiti (punti totali 0-31) e da una breve dimostrazione facoltativa (0-2 punti)
- prova di conoscenza applicata (durata 2 ore) composta da 5 esercizi (punti totali 0-33 per Matematica e 0-32 per Fisica) e da un esercizio facoltativo per gli studenti di Fisica (0-2 punti). Il primo esercizio preliminare (0-15 punti) contiene otto semplici quesiti su tutto il programma, il secondo esercizio è una disequazione irrazionale o con valore assoluto (0-4 punti), nel terzo esercizio è richiesto il disegno preciso del grafico di una funzione definita a tratti (0-7 punti), il quarto esercizio consiste nell’analisi di una funzione di cui è dato il disegno del grafico (0-4 per Matematica e 0-3 per Fisica), mentre il quinto esercizio concerne la geometria analitica (0-3 punti).
Il voto finale è calcolato partendo dal punteggio (0-32 punti) ottenuto nella prova scritta (per il Corso di Laurea in Matematica si calcola la media delle due prove) cui viene aggiunto il punteggio ottenuto nell’esercizio facoltativo. L’esame risulta superato con una votazione finale di 18/30.
Per il corso di Laurea in Fisica il programma della prova scritta non comprende la logica delle proposizioni, le definizioni e le dimostrazioni.
I risultati dell’esame sono pubblicati sulla piattaforma Elly entro due settimane dalla data della prova scritta. Gli studenti possono visionare la prova scritta negli orari indicati dal docente oppure su appuntamento.
Altre informazioni
Questo corso (6CFU) è obbligatorio per il corso di laurea triennale in Matematica.
Una parte di questo corso (3CFU) è obbligatoria per il corso di laurea triennale in Fisica.
Il corso di Elementi di Matematica è propedeutico agli esami di Algebra e Analisi Matematica 1.
La frequenza al corso è obbligatoria (75%) per tutti gli studenti che non abbiano superato il test di autovalutazione oppure ne siano esonerati (ad esempio se hanno superato l’esame finale del Progetto CORDA con due punti di bonus). Per la lista completa delle condizioni di esonero si vedano gli OFA (obblighi formativi aggiuntivi) nel Manifesto degli Studi 2019-20 alla voce ESONERO TEST VPI. Inoltre per tali studenti l’esame di Elementi di Matematica è propedeutico a tutti gli esami del Corso di Laurea.
È comunque vivamente consigliata la frequenza al corso a tutti gli studenti.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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