Obiettivi formativi
Il corso intende fornire conoscenze e tecniche di base di algebra lineare allo scopo di fornire strumenti per la risoluzione di sistemi lineari, per diagonalizzare matrici e per descrivere in modo semplice il comportamento di enti geometrici nel piano e nello spazio mediante lezione frontali.Capacità di applicare conoscenza e comprensioneLo studente saprà: i) risolvere sistemi di equazioni lineari; ii) semplici esercizi di geometria analitica nello spazio; operare su vettori e matrici; iii) diagonalizzare operatori e matrici.Autonomia di giudizio: Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.Capacita' comunicative.Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato. Ci si attende che, alla fine del corso, sia in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici.Capacità di apprendimento:Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito del algebra lineare e la teoria degli spazi vettoriali.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Cenno sui numeri complessi. Calcolo vettoriale e matriciale. Determinante e rango di una matrice. Sistemi lineari. Spazi vettoriali reali (complessi). Somma e somma diretta di sottospazi. Applicazioni lineari e matrci associate. Autovalori e autovettori. Diagonalizzabilità di una matrice. Forme bilineari e prodotti scalari. Endomorfismi simmetrici ed isometrie. Teorema spettrale reale. Geometria analitica nel piano e nello spazio euclideo.
Programma esteso
Geometria euclidea e prodotto vettoriale. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprietà fondamentali. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà fondamentali. Teorema di Binet.Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouché Capelli. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale.
Bibliografia
Marco Abate, Chiara De Fabritiis “Geometria analitica con elementi di algebra lineare", Francesco Capocasa e Costantino Medori ‘’Corso di Geometria e Algebra Lineare’’
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale in cui vengono proposti gli argomenti dal punto di vista formale corredati da esempi significativi, da applicazioni e da esercizi. Sono proposti esercizi da svolgere in maniera autonoma, in modo da incoraggiare gli studenti ad esplorare i limiti delle loro capacità. Il materiale è caricato sulla piattaforma Elly con una cadenza settimanale. Anche le lezioni sonlo caricate sulla piattaforma Elly con cadenza settimanale.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta e attraverso un colloquio orale. Nella prova scritta, attraverso gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base di algebra lineare e di geometria analitica. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di condurre autonomamente dimostrazioni relative alle tematiche del corso utilizzando un appropriato linguaggio ed un formalismo matematico corretto. Per svolgere la prova scritta e orale gli studenti dovranno iscriversi sulla piattaforma esse3. La durata della prova scritta è di 1:45. Gli studenti che raggiungeranno nella prova scritta d’esame una valutazione uguale o superiore a 18/30 potranno sostenere la prova orale. Il voto finale risulterà dalla media aritmetica dei voti della prova scritta d’esame e della prova orale d’esame.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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