Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere.
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative agli elementi di base della teoria delle successione e serie numeriche, del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale, della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, e dell'algebra lineare, con particolare riferimento alla teoria dei sistemi lineari e alla diagonalizzabilità delle matrici.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Attraverso le esercitazioni svolte in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti, quali problemi di ottimizzazione per funzioni di una sola variabile, modelli fisici, chimici che portano alla risoluzione di equazioni differenziali o al calcolo di particolari integrali per funzioni di una variabile.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacità comunicative.
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito del calcolo differenziale e dell'integrazione per funzioni di una variabile, nell'ambito delle successioni e serie numeriche e nell'ambito dell'algebra lineare, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare con successo l'ulteriore esame di Matematica previsto dal piano di studio e in seguito affrontare efficacemente l'inserimento nel mondo del lavoro o intraprendere percorsi di formazione successivi, nei quali sia richiesto l'uso della matematica.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso si prefigge di fornire allo studente i concetti e gli strumenti di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile, delle successioni e serie numeriche, dell'Algebra lineare (con particolare attenzione alla teoria dei sistemi lineari e alla diagonalizzabilità delle matrici) e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, integrabili elementarmente.
Programma esteso
1. I numeri reali.
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; numeri razionali e irrazionali; intervalli, distanza. Numeri complessi. Principio di induzione.
2. Funzioni.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche.
3. Cenni di algebra lineare e geometria analitica nello spazio.
Spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi; matrici; applicazioni lineari; diagonalizzabilità di una matrice; sistemi lineari; rette e piani nello spazio.
4. Successioni e serie.
Successioni e loro limiti; successioni definite per ricorrenza; serie a termini positivi e criteri per la loro convergenza.
5. Limiti.
Limiti di funzioni con valori reali, unicità del limite, limiti delle restrizioni; limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni; teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone.
6. Funzioni continue.
Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri; continuità e intervalli; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass.
7. Calcolo differenziale.
Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teorema di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, derivate delle funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda; studio di massimi e minimi locali col calcolo delle derivate.
8. Integrali.
Partizioni di un intervallo; integrale superiore ed inferiore, Integrabilità delle funzioni continue; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; media di una funzione integrabile; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali.
9. Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti continui; equazioni differenziali lineari di ordine n con coefficienti costanti.
Bibliografia
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare. Seconda edizione. Zanichelli, 2004
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Durante le lezioni verranno presentati i concetti base dell'analisi matematica per funzioni di una sola variabile, i principali risultati sulle successioni e
serie numeriche, le basi dell'algebra lineare e delle equazioni differenziali ordinarie.
Le esercitazioni hanno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.
Sono previste 6 ore a settimana di lezioni ed esercitazioni più altre 2 ore per tutoraggio ed ulteriori esercizi.
Le lezioni frontali sono svolte attraverso l'utilizzo di un tablet pc sul quale il docente scrive gli appunti delle lezioni che vengono proiettati su uno schermo. Al termine della lezione viene creato un file pdf con gli appunti scritti e caricato sul portale elly per essere reso disponibile agli studenti.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso la valutazione di una prova scritta e di una prova orale in date differenti. Nella prova scritta, della durata indicativa di due ore, verranno assegnati indicativamente quattro esercizi che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici visti durante il corso in alcuni casi concreti. La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni e l'acquisizione di un linguaggio specifico, oltre alla conoscenza degli argomenti non presenti nella prova scritta. Il voto della parte scritta è espresso in 30esimi e lo studente è ammesso alla prova orale se totalizza almeno 15 punti.
Saranno previste due prove (scritte) in itinere, una indicativamente intorno a fine novembre e una alla fine delle lezioni. Le prove saranno costituite da esercizi sugli argomenti visti a lezione fino al momento della prova e (possibilimente) una domanda di tipo teorico. Il voto di ciascuna prova è espresso in 30esimi. Se la media delle due prove in itinere non è inferiore a 15, lo studente è ammesso automaticamente a sostenere la prova orale del corso.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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