Obiettivi formativi
Fornire le nozioni matematiche di base per un corretto approccio scientifico ai concetti matematici relativi alle Scienze Geologiche e Naturali
Contenuti dell'insegnamento
Elementi di base di Calcolo, Algebra Lineare e Analisi Matematica
Programma esteso
Insiemi: appartenenza e sottoinsiemi. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero–Venn. Connettivi e quantificatori. Prodotto cartesiano di due o piú insiemi. Applicazioni e funzioni fra insiemi. Dominio e campo di definizione, Condominio e immagine. Immagine e controimmagine di un elemento e di un insieme. Iniettività, surgettività, bigettività. Composizione fra applicazioni. Funzione inversa.
Insiemi numerici (N, Z, Q, R) e loro proprietà principali. Operazioni e loro proprieta`: proprietà commutativa, associativa e distributiva. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Equazioni e disequazioni. Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. Intervalli, dischi e intorni.
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Numeri reali e geometria della retta. Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano. Rappresentazione di rette, di circonferenze e di coniche (forma canonica). Parallelismo e perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta. Intersezione e tangenza fra rette e coniche. Vertici e fuochi e asintoti di coniche.
Sistemi di equazioni lineari. Metodi di risoluzione. Metodo di Cramer e metodo di Gauss. Matrici quadrate, rettangolari e vettori riga o colonna. Operazioni tra matrici e vettori. Determinante e rango di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli per sistemi lineari.
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, costanti, lineari e affini, potenze, valore assoluto, segno. Funzioni polinomiali. Esponenziale e logaritmo. Proprietà delle potenze. La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Funzioni goniometriche. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari. Interpretazione grafica di iniettività e surgettività, della composizione di funzioni e della funzione inversa. Funzioni monotòne, pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Traslazioni e dilatazioni di grafici di funzioni. Equazioni e disequazioni con le funzioni elementari.
Derivato del campo di definizione di una funzione. Definizione di limite in un punto del derivato. Funzioni continue in un punto, in un insieme. Unicità del limite. Teorema della permanenza del segno. Teoremi di degli zeri e di Weierstrass. Forme indeterminate e limiti notevoli.
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate. Segno della derivata e monotonia. Punti di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso. Teorema di de l'Hôpital e applicazione ai limiti.
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni per l'integrabilità. Integrabilità delle funzioni continue. Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: decomposizione in somma, sostituzione, parti.
Bibliografia
Marcellini P., Sbordone C. - Elementi di Matematica – Liguori Editore
Bigatti A.M., Robbiano L. – Matematica di Base – Casa Editrice Ambrosiana
Bigatti A.M., Tamone G. - Matematica di Base. Esercizi Svolti, Testi d'Esame, Richiami di Teoria - Soc. Ed. Esculapio
Metodi didattici
Lezioni teoriche ed esercitazioni in aula. Incontri individuali di chiarimento a richiesta dello studente
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto finale distinto in un questionario preliminare a risposta chiusa atto a provare la conoscenza e la capacità di comprensione teorica ed applicata degli argomenti svolti e un questionario aperto a risposta numerica e testuale atto a valutare l'autonomia di giudizio e l'abilità comunicativa. L’accesso alla seconda parte è vincolato al superamento della prima
