Obiettivi formativi
Fornire agli studenti gli strumenti dell'Analisi Matematica in più variabili necessari per affrontare problemi fisici o matematici elementari.
Prerequisiti
Conoscenza e abilità di calcolo inerenti all'Analisi Matematica in una variabile reale.
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo Differenziale per funzioni reali di più variabili reali. Ottimizzazione. Curve in forma parametrica. Integrazione secondo Riemann per funzioni di più variabili reali. Superfici in forma parametrica.
Programma esteso
FUNZIONI REALI DI PIU' VARIABILI REALI Topologia - Limiti - Continuità -
Derivate parziali, direzionali - Differenziabilità - Piano tangente, versore
normale - Il gardiente è ortogonale alle linee di livello - Derivate di ordine
superiore - Teorema di Schwarz - Differenziali di ordine superiore - Matrice
Hessiana - Formula di Taylor - Funzioni a valori vettoriali - Matrice
Jacobiana - Funzioni implicite - Teorema del Dini (enunciato).
OTTIMIZZAZIONE Estremi liberi: Teorema di Weierstrass (enunciato) - Punti
critici - Studio del segno delle forme quadratiche - Condizioni sufficienti
di max/min relativo per punti critici attraverso lo studio del segno del
differenziale secondo. Estremi vincolati: Teorema dei moltiplicatori di
Lagrange (enunciato).
CURVE IN FORMA PARAMETRICA Parametrizzazioni equivalenti od opposte -
Derivata - Curve regolari o regolari a tratti - Curve in forma polare -
Lunghezza di una curva regolare (enunciato) - Parametro arco - Integrali
curvilinei di I specie. Proprietà (enunciato) ed interpretazione fisica e
geometrica - Integrali curvilinei di II specie. Proprietà ed interpretazione
fisica - Forme esatte. Condizioni equivalenti - Condizioni necessarie per
forme regolari : rot=0 - La condizione è sufficiente in un aperto
semplicemente connesso (enunciato) - Determinazione di un potenziale -
Equazioni differenziali in forma di differenziali esatti.
INTEGRALE SECONDO RIEMANN PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI Funzioni di 2
variabili: Integrale in un rettangolo, in un insieme limitato - Misurabilità
di un insieme limitato - Proprietà dell’integrale (enunciato) - Insiemi
semplici - Teorema di riduzione (enunciato) - Teorema di cambiamento di
variabili (enunciato) - Volume di solidi di rotazione o di tipo conico
(enunciato) - Estensione dei concetti alle funzioni di 3 variabili reali -
Integrali generalizzati (cenno).
SUPERFICI IN FORMA PARAMETRICA Superfici regolari o regolari a pezzi -
Piano tangente, versore normale - Orientazione - Integrali superficiali ed
area - Proprietà di linearità e di additività (enunciato) - Lemma di Gauss -
Teorema del gradiente - Teorema della divergenza - Teorema di Stokes -
Applicazione al calcolo di aree - Formula di integrazione per parti.
Bibliografia
Testi consigliati e bibliografia
C. Canuto - A. Tabacco, Analisi matematica I, Springer Italia C. Canuto - A. Tabacco, Analisi matematica II, Springer Italia
Ogni altro testo di Analisi Matematica 2 a scelta dello studente.
Metodi didattici
Lezioni frontali
Modalità verifica apprendimento
L'esame si articola in una prova scritta ed una prova orale
Altre informazioni
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