Obiettivi formativi
Il corso fornisce conoscenze e competenze relative agli integrali impropri, alle equazioni differenziali, alle curve, al calcolo differenziale ed integrale in più variabili.
Al termine del corso ci si attende che lo studente sia in grado di:
Conoscenza e capacità di comprensione:
Conoscere la teoria relativa a
- integrazione in senso improprio
- equazioni differenziali ordinarie
- curve
- funzioni di due o tre variabili reali: legge, dominio, zeri e segno, insiemi di livello, equazione del grafico, superfici (piano, paraboloide circolare, cono circolare, semi-superficie sferica)
- topologia nel piano: intorni, punto interno, esterno e di bordo, insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti
- funzioni continue e teorema di Weierstrass.
Conoscere
- i fondamenti del calcolo differenziale per una funzione di più variabili reali: derivate parziali, gradiente, piano tangente, differenziabilità, derivata direzionale, massima pendenza e direzione di massima salita, relazione tra il gradiente e gli insiemi di livello, derivate successive e matrice Hessiana
- l’enunciato e le applicazioni dei teoremi del Differenziale Totale e di Schwartz
- le definizioni di punto di massimo o minimo locale e assoluto e di punto di sella
- la definizione di punto stazionario e l’enunciato del teorema di Fermat
- il teorema sulle condizioni sufficienti per lo studio della natura dei punti stazionari
- la formula di derivazione di funzione composta con una curva
- il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange
- la definizione di integrale doppio e il suo significato geometrico
- la definizione di dominio normale ed i teoremi di Riduzione
- il teorema di Cambiamento di variabile negli integrali doppi
- come si calcola un volume tramite gli integrali doppi.
- i teoremi di Riduzione per fili negli integrali tripli.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Saper
- valutare l’eventuale convergenza o divergenza di un integrale improprio
- risolvere un’equazione differenziale o un problema di Cauchy
- riconoscere e disegnare il sostegno di una curva piana, determinare i vettori e versori tangenti e normali, l’equazione delle rette tangente e normale e la lunghezza
- determinare per una curva nello spazio l’equazione della retta tangente, del piano per un punto perpendicolare a tale retta e la lunghezza
- risolvere le disequazioni in due variabili
- scrivere le equazioni parametriche di una curva assegnata e dei tratti del bordo di un insieme
- determinare e rappresentare il dominio, gli zeri, il segno e gli insiemi di livello di una funzione
- scrivere l’equazione del grafico e disegnare la superficie individuata
- disegnare un solido nello spazio
- identificare i punti interni, esterni e di bordo di un insieme; stabilire se un insieme è aperto, chiuso, limitato o compatto
- calcolare le derivate parziali di una funzione, il gradiente, il piano tangente, le derivate direzionali, analizzare le pendenze del grafico
- stabilire se una funzione è differenziabile
- calcolare le derivate seconde, la matrice Hessiana ed eventuali derivate successive
- determinare i punti stazionari di una funzione e studiarne la natura
- applicare il teorema di Weierstrass
- determinare il massimo e il minimo assoluti di una funzione
- applicare il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange
- calcolare un integrale multiplo, il volume di un solido, le coordinate del baricentro di una figura piana o solida.
Autonomia di giudizio:
Essere in grado di
- comprendere i meccanismi matematici utilizzati negli altri corsi
- verificare l’attendibilità dei risultati
- affrontare un nuovo problema e impostarne la soluzione
- organizzare con precisione il proprio lavoro.
Capacità comunicative:
Saper comunicare contenuti matematici, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo.
Capacità di apprendimento:
Saper affrontare un approfondimento autonomo di eventuali applicazioni che possano rendersi necessarie all’interno di uno studio o di un progetto.
Prerequisiti
Propedeuticità obbligatorie: Analisi Matematica A e Geometria del primo anno.
Contenuti dell'insegnamento
Modulo didattico 1:
Ripasso dell’INTEGRALE DEFINITO
INTEGRALI GENERALIZZATI
Modulo didattico 2:
CURVE NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Modulo didattico 3:
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Modulo didattico 4:
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI REALI
CALCOLO DIFFERENZIALE
SUPERFICI E SOLIDI NELLO SPAZIO
Modulo didattico 5:
MASSIMI E MINIMI LIBERI E VINCOLATI
Modulo didattico 6:
INTEGRALI MULTIPLI
Programma esteso
INTEGRALI IMPROPRI (o GENERALIZZATI)
Definizione di funzione integrabile in senso improprio: integrale convergente, divergente positivamente oppure negativamente, integrale che non ha senso. Analisi della convergenza o divergenza delle funzioni di riferimento 1/xa, sia per x che tende a zero sia all’infinito. Teoremi del confronto e del confronto asintotico.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Concetto di equazione differenziale.
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo e del secondo ordine omogenee e complete a coefficienti costanti.
Problema di Cauchy.
CURVE NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Definizione di curva.
Parametrizzazione di curve sia nel piano sia nello spazio e rappresentazione di curve assegnate.
Curve derivabili, di classe C1 e curve regolari.
Vettore e versore tangente, vettori e versori normali, rette tangente e normale al sostegno di una curva data.
Velocità istantanea e velocità scalare.
Lunghezza di una curva.
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI REALI
Definizione di funzione di più variabili reali.
Dominio. Rappresentazione di una funzione reale di due variabili reali e suo grafico.
Insiemi di livello e disegno del grafico. Rette e piani, cilindro, paraboloide, cono, superficie sferica, ellissoide, iperboloide.
Topologia nel piano: intorni, punto interno, esterno e di bordo, insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti.
Continuità, teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: derivate parziali, gradiente, piano tangente, differenziabilità, derivata direzionale, massima pendenza e direzione di massima salita, relazione tra il gradiente e gli insiemi di livello, teorema del Differenziale totale.
Cenni alle funzioni di tre variabili.
MASSIMI E MINIMI LIBERI E VINCOLATI
Derivate successive, matrice Hessiana, teorema di Schwartz.
Punto di massimo o minimo locale e assoluto e punto di sella.
Punto stazionario, teorema di Fermat, teorema sulle condizioni sufficienti per lo studio della natura dei punti stazionari.
Formula di derivazione di funzione composta con una curva.
Determinazione dei massimi e minimi liberi di una funzione.
Massimi e minimi vincolati: metodo dei Moltiplicatori di Lagrange.
INTEGRALI DOPPI E TRIPLI
Definizione di integrale di una funzione di due variabili. Teorema di riduzione per il calcolo di un integrale doppio su un dominio rettangolare e su un dominio normale.
Significato geometrico dell’integrale doppio e calcolo di un volume.
Coordinate del baricentro di una figura geometrica piana.
Teorema di cambiamento di variabile e applicazioni: traslazioni, rotazioni e coordinate polari.
Integrali tripli: teoremi di riduzione per fili. Coordinate del baricentro di un solido tridimensionale.
Bibliografia
Testi consigliati:
A.Coscia, Appunti ed esercizi di Analisi Matematica 2, Libreria Santa Croce (Parma, 2018)
E.Acerbi, G.Buttazzo, Secondo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editrice (Bologna, 2016)
Materiale didattico (disponibile sulla piattaforma ELLY https://elly2021.dia.unipr.it ):
Materiale di ripasso sulle conoscenze preliminari.
Schede di esercizi con soluzione su tutto il programma.
Compiti degli a.a. dal 14-15 al 20-21 con soluzione.
Video e pdf delle lezioni a.a. 20-21.
Metodi didattici
Il corso si svolge in presenza e prevede settimanalmente 6 ore di lezione frontale (per un totale di 72 ore) più alcune ore di esercitazioni guidate (2 ore per ogni argomento, per un totale di 14 ore).
Il corso si concentra sui concetti (forniti in modo preciso e rigoroso) e sugli aspetti applicativi e di calcolo.
Per aiutare lo studente nella preparazione, su Elly saranno proposti moltissimi esercizi e anche dei brevi quiz da svolgere a casa. Il docente sarà a disposizione, sia in presenza sia online, per discutere gli argomenti svolti a lezione ed eventuali esercizi.
All’inizio del corso tutto il materiale didattico viene caricato sulla piattaforma Elly: appunti relativi alle lezioni, i compiti degli anni precedenti con soluzione, esercizi con soluzione su tutto il programma del corso.
Per scaricare il materiale è necessaria l’iscrizione al corso on-line.
Il docente rende disponibili online a tutti gli studenti sulla piattaforma Elly i video e i pdf delle lezioni registrate nell’a.a. 20-21 utilizzando la piattaforma Teams (guida http://selma.unipr.it/didattica-online/). Per poter usufruire di qualunque attività online gli studenti devono iscriversi al Team classe “Analisi Matematica B” utilizzando il codice e le istruzioni che il docente caricherà sulla piattaforma Elly.
Le lezioni caricate vengono considerate parte integrante del materiale didattico.
Si ricorda agli studenti non frequentanti di controllare il materiale didattico disponibile e le indicazioni fornite dal docente tramite la piattaforma Elly.
Modalità verifica apprendimento
La prova finale del corso consiste in una prova scritta e successiva prova orale, entrambe sia teoriche sia pratiche, su tutto il programma svolto. Le domande teoriche riguardano le definizioni, i teoremi ed eventuali applicazioni. Non sono permessi libri o appunti, né l’utilizzo della calcolatrice o di altro strumento di calcolo.
La prova scritta è valutata su un totale di 30 punti; se lo studente supera la prova scritta (18/30) viene ammesso alla prova orale nella quale sono assegnati fino ad un massimo di 6 punti.
Lo studente dovrà dimostrare di aver compreso, e di essere in grado di applicare, i concetti fondamentali di ogni argomento trattato.
L’esame si svolge in presenza e risulta superato con una votazione finale di 18/30.
In sostituzione dell’esame finale, lo studente può sostenere tre prove scritte in itinere, costituite da esercizi sia teorici sia pratici e valutate in media su 33 punti; il voto finale risulta dalla media aritmetica delle tre prove, a condizione che tutte siano risultate sufficienti, più un punto di bonus.
I risultati dell’esame saranno pubblicati sulla piattaforma Elly entro due settimane dalla data della prova scritta. Verranno comunicati agli studenti gli orari nei quali sarà possibile visionare la prova scritta.
Qualora a causa dell’emergenza sanitaria fosse necessario integrare con la modalità a distanza lo svolgimento degli esami di profitto e delle prove in itinere si procederà sostituendo ogni prova in presenza con una prova scritta (eventualmente in parte costituita da un quiz a risposta multipla su Elly) e successiva prova orale obbligatoria a distanza sulla piattaforma Teams. Sulla piattaforma Elly sarà reperibile il template con tutte le istruzioni relative agli esami online.
Altre informazioni
Questo corso (9CFU) è obbligatorio per il corso di laurea triennale in Ingegneria Gestionale.
È vivamente consigliata la frequenza al corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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