Obiettivi formativi
Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito conoscenze e capacità di comprendere nel senso di: conoscere i risultati fondamentali della teoria delle funzioni analitiche, riconoscendo in particolare il complesso delle conseguenze che derivano dalla natura olomorfa di una funzione; conoscere i risultati generali della teoria degli spazi lineari, riconoscendo in particolare la centralità della teoria spettrale nella caratterizzazione di un operatore e nel calcolo di funzioni di esso; conoscere i risultati generali sulla completezza di talune basi in spazi funzionali, riconoscendo in particolare la potenza delle tecniche basate su sviluppi in serie di Fourier, trasformate di Fourier e sviluppi su basi di polinomi ortogonali.
Dovrà altresì aver acquisito capacità di applicare conoscenza e comprensione nel senso di: saper applicare le tecniche di calcolo apprese nel contesto della teoria delle funzioni analitiche ovunque queste si presentino nello studio dei capitoli più avanzati della fisica, ed in particolare saper calcolare integrali con il metodo dei residui, saper integrare sistemi di equazioni differenziali lineari, saper sviluppare funzioni in serie riconoscendo la relazione degli sviluppi con la struttura di singolarità; saper studiare lo spettro di operatori lineari (soprattutto una volta che questo problema si presenterà nello studio della meccanica quantistica), ed in particolare saper calcolare funzioni di operatori lineari; saper risolvere equazioni differenziali lineari alle derivate parziali per mezzo della tecnica di separazione delle variabili, ed in particolare saper applicare in questo contesto tecniche di sviluppo in serie di Fourier per il soddisfacimento di date condizioni iniziali/al contorno; saper riformulare problemi operando trasformate di Fourier, riconoscendo in particolare come taluni problemi si semplifichino se affrontati nello spazio dei momenti.
Dovrà anche aver acquisito autonomia di giudizio nel senso di: saper valutare quali tecniche di calcolo siano di volta in volta appropriate per la soluzione di un dato problema, riconoscendo in particolare come spesso la scelta possa essere operata fra un complesso di tecniche, tutte valide; dopo aver proposto la soluzione di un problema, saper riconoscere la correttezza delle argomentazioni prodotte nella soluzione; sapere nutrire uno scetticismo costruttivo di fronte ad argomentazioni confuse, non supportate da correttezza formale di ragionamento.
Lo studente dovrà poi aver acquisito capacità comunicative nel senso di: saper presentare dei risultati ottenuti in modo chiaro, preciso e conciso; nella presentazione di un risultato o di un progetto, saper sia fornire sinteticamente un quadro di insieme sia argomentare analiticamente i passaggi tecnici più delicati; saper argomentare in pubblico, in particolare nel contesto di lavoro di gruppo.
Dovrà infine aver acquisito capacità di apprendimento nel senso di: sapere procedere in modo sistematico nello studio dei capitoli più avanzati della fisica, riconoscendo la struttura matematica che ne descrive il quadro teorico; saper progredire in autonomia nello studio di quei capitoli di matematica non coperti nei programmi dei corsi seguiti, ma eventualmente necessari allo studio di argomenti avanzati.
Prerequisiti
Nozioni fondamentali di analisi reale, calcolo infinitesimale, geometria e algebra lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso mira a dare un ragionevole completamento della formazione matematica del laureato in Fisica. Il programma è indubbiamente ampio, soggetto però al vincolo di coniugare il necessario rigore con la capacità di riconoscere chiaramente il quadro complessivo dei contenuti. Sarà posto un doveroso accento sulla acquisizione di metodi di calcolo.
Si completa la preparazione di base con l'analisi complessa e la teoria delle funzioni analitiche (olomorfia, singolarità, sviluppi in serie di Taylor e di Laurent, prolungamento analitico, calcolo di integrali definiti con il metodo dei residui).
La parte più qualificante del corso è costituita dalla teoria degli operatori lineari negli spazi finito dimensionali; a tal scopo vengono richiamati ed approfonditi contenuti di algebra lineare. L'obiettivo finale è arrivare ad una trattazione ragionevolmente completa della teoria spettrale e del calcolo di funzioni di operatori. In questo quadro viene discussa la soluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari.
E' prevista poi l’agile esposizione di temi (informazioni di base su topologia e spazi metrici) che consentono di procedere verso gli spazi infinito dimensionali, e in particolare verso gli spazi di funzioni. La teoria spettrale negli spazi di Hilbert viene affrontata senza mirare ad una trattazione esaustiva.
Numerosi contenuti sono sottolineati essere naturalmente a cavallo fra i due filoni principali del corso (funzioni analitiche e operatori lineari), in particolare trasformate e serie di Fourier, polinomi ortogonali.
Gli argomenti verranno presentati nella prospettiva di applicazioni a problemi tipici della fisica matematica e di un primo contatto con la meccanica quantistica.
Programma esteso
Richiami sui campi numerici e studio del campo dei numeri complessi. Nozioni di base sulle funzioni di variabile complessa; limiti e continuità in campo complesso. Definizione di derivata e olomorfia.
Integrali (curvilinei) in campo complesso. Teorema di Cauchy e formula di Cauchy. Zeri e singolarità di funzioni analitiche; polidromia e punti di diramazione.
Richiami su serie di funzioni e di potenze in campo reale. Serie di potenze in campo complesso. Serie di Taylor e di Laurent e relazione con la struttura di singolarità. Prolungamento analitico. Il teorema dei residui. Calcolo di integrali per mezzo del teorema dei residui. Il lemma di Jordan. Valore principale di un integrale (cenni).
Spazi lineari reali e complessi. Lineare dipendenza e indipendenza, dimensione di uno spazio lineare e basi. Isomorfismo fra spazi lineari. Prodotto scalare e spazi lineari unitari. Basi ortonormali.
Funzionali lineari. Teorema di Riesz. Notazione di Dirac. Relazione di completezza e proiettori.
Operatori lineari e matrici di rappresentazione. Cambio di base. Spazio lineari di operatori, inverso e norma. Aggiunto hermitiano di un operatore. Operatori autoaggiunti, unitari, normali. Relazione con teoria dei gruppi (una minima introduzione).
Operatore risolvente e spettro di un operatore; autovettori ed autovalori. Diagonalizzabilità e decomposizione spettrale; proiettori e nilpotenti. Calcolo di funzioni di operatori per serie e per mezzo della formula di Riesz-Dunford.
Introduzione a spazi lineari infinito dimensionali. Spazi metrici e topologici. Spazi di Hilbert e spazi separabili. Basi, coefficienti di Fourier e completezza. Spazi di funzioni; spazi L1 e L2.
Funzionali lineari in spazi normati; funzionali lineari limitati e continui. Teorema di Riesz. Convergenza debole e forte. Introduzione alle distribuzioni e delta di Dirac.
Operatori lineari in spazi di Hilbert: aggiunto hermitiano di un operatore; operatori simmetrici e operatore autoaggiunti; estensione autoaggiunta di operatori simmetrici; operatori unitari. Introduzione alla teoria spettrale in spazi di Hilbert. Spettro discreto, continuo, residuo. Introduzione alle famiglie spettrali per operatori autoaggiunti.
Metodo della separazione di variabili per la soluzione delle principali equazioni differenziali lineari alle derivate parziali della fisica.
Equazione di Legendre e polinomi di Legendre. Polinomi ortogonali.
Serie di Fourier. Trasformate di Fourier.
Bibliografia
Le tracce delle lezioni (disponibili su ELLY) costituiranno il principale (autoconsistente) riferimento.
Lo studente dovrà però tenere presente che ci sono molti eccellenti testi sugli argomenti del corso, nessuno dei quali verrà seguito in modo esclusivo. Una lista (non esaustiva) comprende:
- V. Smirnov, Corso di Matematica superiore, vol.III,2 (MIR)
- E.Kolmogorov, S.Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e dell'analisi funzionale (ER)
- F.G.Tricomi, Metodi Matematici della Fisica (Cedam)
- M.Spiegel, Variabili Complesse (Schaum, Etas)
- M.Spiegel, Analisi di Fourier (Schaum, Etas)
Tutti questi testi sono reperibili nel sistema bibliotecario di Ateneo.
Sugli argomenti relativi agli spazi lineari verrà seguito in modo abbastanza sistematico il testo disponibile online:
- E. Onofri, Teoria degli Operatori lineari, https://www.eoinfnpr.it/MMFbook.pdf
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in aula (con il coinvolgimento degli studenti).
Potranno essere assegnati problemi da svolgere a casa durante tutto il corso dell'anno. Questi esercizi saranno preferibilmente assegnati nella modalità COMPITO sulla piattaforma ELLY. Sulla piattaforma ELLY saranno disponibili le tracce delle lezioni, caricate di volta in volta, seguendo il ritmo di avanzamento delle lezioni stesse. Gli studenti sono invitati a consultare sistematicamente le pagine del corso, poiché le note sono il principale riferimento per lo studio.
I due moduli del corso avanzeranno in parallelo, con l'intento di riconoscere progressivamente l'interdipendenza logica e contenutistica, fino ad arrivare alla fase finale in cui i due moduli si incontrano naturalmente in una potente unificazione concettuale (spazi di funzioni, serie e trasformate di Fourier, polinomi ortogonali).
Modalità verifica apprendimento
La valutazione dei due moduli del corso avverrà unitariamente. Ci sarà una prova scritta intermedia nella sessione di esami invernale. La prova è eminentemente intesa come prova di autovalutazione, ma se superata positivamente (e solo in questo caso) concorrerà alla formazione del voto finale (bonus di 2 punti).
Prova finale scritta ed orale. La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi (normalmente in numero di tre, che coprono entrambi i moduli del corso e concorrono in parte uguale alla formazione del voto), atti a provare l'abilità dello studente nel calcolo, su problemi che presentano piccole variazioni rispetto agli esercizi svolti durante il corso. Non è consentita la consultazione di materiale in sede di esame scritto, la cui durata è
fissata in 3 ore. Si è ammessi alla prova orale con un punteggio maggiore o uguale a 16. Se un esercizio della prova scritta risultasse largamente deficitario, ma il punteggio complessivo risultasse sufficiente per l'ammissione alla prova orale, in quella sede sarà proposto lo svolgimento di un esercizio sullo stesso tema. Ove possibile (ovvero se il calendario degli impegni di tutti lo consentirà), gli studenti verranno invitati a partecipare ad una sessione di correzione della prova scritta, in cui tutti gli esercizi verranno svolti in dettaglio. Gli studenti saranno comunque contattati anche individualmente (via e-mail) per una discussione dell'esito della lora prova scritta.
La prova orale consiste nella discussione di argomenti fondamentali del corso, che consentano di verificare se lo studente ne ha una sicura padronanza metodologica e concettuale. La prova orale avrà come punto di partenza la trattazione di due temi: uno assegnato dal docente con qualche giorno di anticipo (sulla scorta del risultato della prova scritta) e uno scelto dallo studente. I due temi dovranno entrambi i moduli del corso.
Sia la prova scritta sia quella orale concorreranno al punteggio finale, ma il punteggio della prova scritta non porrà un limite superiore al punteggio finale.
Le prove di esame (scritti ed orali) sono previste in presenza.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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