Obiettivi formativi
Il corso ha come obiettivi principali lo studio delle proprietà geometriche delle varietà differenziabili, con particolare riferimento agli aspetti coomologici di esse.
Prerequisiti
Analisi 1, 2, Geometria 1, 2, Algebra.
Contenuti dell'insegnamento
Geometria differenziale.
Programma esteso
1. Varietà differenziabili.
1.1 Preliminari topologici
1.2 Definizione di varietà. Esempi.
1.3 Spazio tangente. Applicazioni differenziabili. Differenziale.
1.4 Campi vettoriali.
1.5 Sottovarietà.
2. Tensori e forme differenziali.
2.1 Algebra tensoriale.
2.2 Fibrati tensoriali. Forme differenziali. L'operatore d.
2.3 Derivata di Lie.
3. Integrazione su varietà.
3.1 Varietà orientabili.
3.2 La definizione di integrale.
3.3 Il teorema di Stokes.
4. Coomologia di de Rham e teoria di Hodge.
4.1 Il complesso di de Rham. Gruppi di coomologia.
4.2 Il lemma di Poincare'.
4.3 L'operatore star di Hodge.
4.4 Il teorema di Hodge. La dualita' di Poincare'.
4.5 Applicazioni e calcolo della coomologia di alcuni spazi.
5. Elementi di gruppi e algebre di Lie. Prime nozioni di geometria Riemanniana.
5.1 Gruppi di e algebre di Lie: definizioni ed esempi.
5.2 L'algebra di Lie di un gruppo. L'applicazione esponenziale.
5.3 Gruppi di matrici.
5.4 Metriche Riemanniane. Connessione di Levi-Civita. Curvatura di Riemann. Curvatura di Ricci.
5.5 Metriche invarianti su gruppi di Lie e proprietà di curvatura.
Testi di riferimento:
[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Second edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando,
FL, 1986. xvi+430 pp.
[2] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1983. ix+272
Bibliografia
[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Second edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando,
FL, 1986. xvi+430 pp.
[2] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1983. ix+272
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
Modalità verifica apprendimento
Risoluzione di problemi assegnati nel corso delle lezioni frontali e
esame orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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