Obiettivi formativi
Lo scopo del corso e' quello di fornire agli studenti gli strumenti di base dell'analisi matematica.
Contenuti dell'insegnamento
<strong>Primo semestre<br />
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1. I numeri reali. </strong><br />
Definizione assiomatica dei numeri reali, massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; numeri razionali e irrazionali; intervalli, distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni; insiemi chiusi, aperti, frontiera.<br />
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<strong>2. Funzioni. </strong><br />
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche.<br />
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<strong>3. Limiti. </strong><br />
Limiti di somma con valori reali, unicità del limite, limiti delle restrizioni; limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni; teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; ordini di infinitesimi e di infiniti.<br />
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4. Funzioni continue. </strong><br />
Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri; continuità e intervalli; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass.<br />
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<strong>5. Calcolo differenziale. </strong><br />
Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teorema di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, derivate delle funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda; formula di Taylor con resto di Peano, di Lagrange; studio di massimi e minimi locali col calcolo delle derivate successive.<br />
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<strong>6. Integrali. </strong><br />
Partizioni di un intervallo; integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili in un intervallo, integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; media di una funzione integrabile; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali. Formula di Taylor con resto integrale.<br />
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<strong>Secondo semestre.</strong><br />
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<strong>7. Complementi di calcolo.</strong><br />
Integrali generalizzati di funzioni illimitate e su intervalli illimitati; criterio di Cauchy e criterio di confronto. Funzioni uniformemente continue.<br />
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<strong>8. Successioni.</strong> <br />
Successioni di numeri reali e complessi, successioni convergenti, unicità del limite; sottosuccessioni; successioni di Cauchy; successioni infinitesime, successioni divergenti; somme, prodotti, quozienti, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; il numero pi greco, successioni definite per ricorrenza; massimo e minimo limite. Numeri razionali e irrazionali; rappresentazione decimale; non numerabilità dei reali, densità dei razionali nei reali. Teorema di Bolzano-Weierstrass e compattezza in R. Potenze con esponente reale.<br />
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<strong>9. Serie. <br />
</strong>Serie convergenti, divergenti, indeterminate; criterio di Cauchy per le serie; criterio di confronto, del rapporto, della radice; criterio integrale di convergenza per serie a termini positivi; serie assolutamente convergenti, riordinamenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometriche, serie telescopiche, serie armonica, serie armonica generalizzata e serie armonica a segni alterni, serie esponenziali.<br />
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<strong>10. Numeri complessi.</strong> <br />
Definizione, operazioni elementari e loro rappresentazione grafica.
Bibliografia
E. Acerbi, G. Buttazzo: Primo corso di Analisi Matematica, Ed. Pitagora, 1997.<br />
E. Acerbi, G. Buttazzo: Analisi matematica ABC, Ed. Pitagora, 2000.<br />
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 1, Ed. Zanichelli, 2008.<br />
M. Giaquinta, L. Modica: Analisi Matematica 1, vol. 1 & 2, Ed. Pitagora, 1998.
Metodi didattici
Sono previste anche due prove intermedie: una alla fine del primo semestre e una alla fine del secondo semestre. <br />
Se entrambe positive, danno l'esonero dalla prova scritta.
