Obiettivi formativi
<p>Acquisire modalità di approccio fondazionale alla Geometria. Conoscenza sintetica ed analitica di alcuni notevoli spazi geometrici.</p>
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<p>Acquisition of a foundational approach to geometry. Synthetic and analytical knowledge of some remarkable geometrical spaces.</p>
Prerequisiti
<p>Eventuali precorsi organizzati dal CCS o dalla Facoltà, finalizzati alla acquisizione di nozioni di base di Teoria degli insiemi e a ravvivare nozioni algebriche di base caratteristiche degli studi di scuola media superiore.</p>
<p>Anticipated course finalized to acquired some basic notions of sets theory and algebraic notions of secondary school. </p>
Contenuti dell'insegnamento
<p>Algebra lineare: insiemi, relazioni, operazioni. Principali tipi di strutture algebriche. Spazi vettoriali. Matrici e determinanti. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali. Sistemi lineari. Forme lineari. Forme bilineari e quadratiche. <br />
Spazi proiettivi (p.): definizione, esempi; varietà lineari p.(v.l.p.); indipendenza e dipendenza lineare di punti; problemi di intersezione; omografie; gruppo p.; riferimenti p.; rappresentazioni parametriche scalari e cartesiane per le v.l.p.; coordinate p. non omogenee; complessificazione di uno spazio p. reale; equazioni di una omografia; birapporto di 4 punti su una retta p.; involuzione; spazio p. duale; particolarizzazioni alle dimensioni 1,2,3. <br />
Spazi affini (a.): definizione ed esempi; vettori a. e spazi vettoriali a.; varietà lineari a. (v.l.a.); parallelismo; rappresentazioni di v.l.a.; intersezione; parallelismo; applicazioni a. ed affinità; gruppo a. e geometria a.; affinità notevoli; sottogruppi notevoli di GA(E); versi su una retta a. reale, semirette e segmenti; riferimenti e coordinate cartesiane a.; cambiamenti di riferimento; orientazioni; rappresentazioni parametriche scalari di v.l.a.; condizioni di parallelismo; equazioni affinità; l'analitica negli spazi a. di dimensioni 1,2,3. <br />
Spazi a. euclidei, riferimenti ortonormali, coseni direttori, angolo di due rette, ortogonalità di due rette, distanza di due punti, equazione normale dell’iperpiano, distanza punto-iperiano, la metrica in S3, e in S2. Isometrie a.; spazi a. ampliati e complessificati (a.,p.); rette isotrope, punti ciclici; coni isotropi, cerchio assoluto. <br />
Curve piane, prime proprietà differenziali; Cn , intersezione di una Cn con la retta impropria, punti semplici, teorema di Bezout, punti multipli. Coniche reali, classificazioni p., equazioni, polarità, retta tangente in un suo punto, fasci, coniche nel piano a. e classificazione a.; centri, diametri, loro espressioni analitiche, diametri coniugati, equazioni canoniche a.; coniche in S2 a. e c., assi, equazioni canoniche, fuochi e direttrici, eccentricità. <br />
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<p> Aim <br />
Introduction to some basic topics in linear algebra; introduction and study of projective, affine and Euclidean affine geometric spaces. <br />
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Contents <br />
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Vector spaces. Matrix and determinant. Linear applications. Linear system. Bilinear an quadratic forms. Euclidean vector spaces. Projective synthetic spaces and analytic geometry of projective spaces. Affine synthetic spaces and analytic geometry of Affine spaces. Euclidean synthetic spaces and analytic geometry of Euclidean spaces. Connections between Projective and Affine spaces. Complex Projective and Affine spaces. Basic topics in curves and surfaces. Conics in Projective, Affine and Euclidean spaces. <br />
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Bibliografia
Vittorio Mangione, Nozioni di algebra lineare, Azzali editore, Parma, 1997. <br />
Vittorio Mangione, Spazi Curve e Superficie, Azzali editore, Parma, 1998 <br />
Marius Stoka, Esercizi di Geometria, Cedam Padova, 1995. <br />
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Metodi didattici
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<p>Teoria in lezioni orali supportatada esercizi. La valutazione tramite esami scritti seguiti da prova orale.</p>
<p>Theory supported by exercises. Written and oral exam.</p>
