Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Obiettivo del corso è rendere lo studente capace di leggere e comprendere testi anche avanzati di Meccanica Analitica e Fisica Matematica e di costruire e sviluppare argomenti di Matematica, e in particolare di Fisica Matematica, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
lo studente dovrà apprendere come applicare le conoscenze acquisite per produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici pertinenti alla Meccanica Analitica e alla Fisica Matematica non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi e a dare di tali risultati un’interpretazione fisica; per inquadrare problemi di Meccanica Analitica e di Fisica Matematica in una chiara e corretta forma matematica al fine di facilitare una loro analisi e risoluzione; per comprendere gli eventuali collegamenti tra i diversi settori e tematiche della Matematica, in particolare della Fisica Matematica, nonché tra queste e i settori delle altre discipline; per valutare e comprendere ed eventualmente proporre la formulazione di modelli fisici.
Autonomia di giudizio:
lo studente dovrà essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche pertinenti agli aspetti teorici e metodologici della Meccanica Analitica e della Fisica Matematica in generale, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, nonché di proporre una ragionevole interpretazione fisica di tali assunti e conclusioni.
Capacità comunicative:
lo studente dovrà acquisire il linguaggio specifico della Meccanica Analitica e della Fisica Matematica e la capacità di lavorare su argomenti pertinenti alla Meccanica Analitica e alla Fisica Matematica sia in autonomia che in gruppo, nonché la capacità di inserirsi facilmente in ambienti di studio e lavoro che si occupano di tali argomenti. Al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la Meccanica Analitica e la Fisica Matematica ad un pubblico specializzato, nella propria lingua e in inglese.
Capacità di apprendimento:
lo studente dovrà essere in grado di proseguire negli studi con un alto grado di autonomia e con mentalità flessibile; di recuperare con facilità informazioni dalla letteratura e dalle banche dati di settore; di acquisire nuove conoscenze nell'ambito della matematica mediante la consultazione autonoma di testi specialistici, riviste scientifiche o divulgative.
Prerequisiti
Matematica di base del primo e secondo anno; propedeuticità obbligatorie: Meccanica Razionale
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente una formalizzazione matematica di alcuni aspetti della Meccanica Analitica, e della Fisica Matematica, sia teorici che applicativi, formalizzazione inquadrata nell’ambito delle conoscenze pregresse e in acquisizione di uno studente del terzo anno del corso di laurea in Matematica.
PARTE I
Verranno descritti gli strumenti geometrico-differenziali atti all’esposizione di una formulazione indipendente dal sistema di coordinate di alcuni concetti di Meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana, quali il flusso dinamico, la forma di Poincaré-Cartan, le parentesi di Poisson e le trasformazioni canoniche.
PARTE II
Verranno forniti i principali strumenti analitici e numerici della teoria del controllo ottimo per problemi a orizzonte finito. Verranno inoltre proposte diverse applicazioni in ambito biologico e in dinamica delle popolazioni.
Programma esteso
PARTE I
Richiami di Geometria: varieta` differenziabili e applicazioni tra varieta`, spazi tangente e cotangente, campi vettoriali, 1-forme differenziali, tensori, forme differenziali e algebra esterna, fibrati tensoriali, differenziale di una forma, prodotto interno di un campo e una forma differenziale.
Flusso di un campo vettoriale, gruppo ad un parametro di diffeomorfismi, congruenza di linee e relazioni tra i tre concetti.
Derivata di Lie relativa ad un campo vettoriale e relazioni con il commutatore di campi vettoriali.
Dinamica Lagrangiana: spazio-tempo delle configurazioni e spazio-tempo degli atti di moto, funzione Lagrangiana e flusso dinamico, derivata temporale, equazioni di Lagrange e loro invarianza al variare delle coordinate, gauge della Lagrangiana, 1-forma di Poincare`-Cartan e suo gauge, differenziale della 1-forma di Poincare`-Cartan ed equazioni di Lagrange in forma compatta.
Dinamica Hamiltoniana: spazio delle fasi come spazio cotangente allo spazio delle configurazioni e spazio-tempo delle fasi come sottovarieta` dello spazio cotangente dello spazio-tempo delle configurazioni. Struttura simplettica e parentesi di Poisson. Funzione Hamiltoniana, derivata temporale, equazioni di Hamilton e loro invarianza al variare delle coordinate, trasformazioni canoniche, integrali primi, campi hamiltoniani.
PARTE II
Formulazione di un problema base di controllo ottimo: funzione di controllo, funzionale obiettivo e problema di massimizzazione. Condizioni necessarie: variabile aggiunta , equazione aggiunta e condizione di trasversalità. Principio del massimo di Pontryagin.
Risultati di esistenza ed unicità del controllo ottimo. Caratterizzazione della funzione hamiltoniana associata.
Funzionali obiettivo con condizioni su stati fissati; termini di payoff.
Caratterizzazione del controllo ottimo: controlli bang-bang e singolari
Risoluzione numerica: forward-backward sweep method. Esempi ed applicazioni.
Bibliografia
Materiale selezionato dal docente e alcune parti scelte dei testi:
1. Crampin-Pirani “Applicable Differential Geometry” - London Mathematical Society Lecture Note Series;
2. DeLeon-Rodrigues “Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics” – Elsevier;
3. Goldstein H., Poole C., Safko J. “Meccanica Classica” – Zanichelli Editore.
4. Lenhart S., Workman J.T. "Optimal Control Applied to Biological Models" - Chapman & Hall/CRC
Metodi didattici
Le attività didattiche saranno condotte tramite lezioni di tipo teorico. La modalità di presentazione delle lezioni sarà di tipo frontale in aula, eventualmente integrata con materiale pre-registrato in formato video o audio. Durante le lezioni di tipo teorico saranno esposti gli argomenti del corso da un punto di vista formale, al fine di favorire l’acquisizione dei principi fondazionali e delle metodologie di modellizzazione ed analisi caratteristiche della Meccanica Analitica e della Fisica Matematica. Nella prima parte saranno esposti ed analizzati esempi di carattere strettamente teorico, al fine di presentare l’interpretazione fisica dei risultati ottenuti. Nella seconda parte saranno invece privilegiate le applicazioni della teoria del controllo ottimo a modelli della fisica matematica in ambiti diversi dalla Meccanica.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento consiste in una prova orale sull’intero programma. Nella prova orale verranno posti quesiti relativamente alle due parti del corso; previo accordo precedente, la verifica dell'apprendimento di una delle due parti potrà avvenire mediante approfondimento di uno degli argomenti presentati nel corso.
Altre informazioni
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