Obiettivi formativi
Al termine del percorso di insegnamento lo studente dovrà aver acquisito conoscenze e competenze di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale; dovrà inoltre essere in grado di comprendere come queste possono essere applicate alla risoluzione di problemi concreti e di maneggiarle agevolmente anche in relazione ad altri ambiti della matematica. In particolare lo studente dovrebbe:
1) avere familiarità con il concetto di funzione convessa, anche in relazione al grado di regolarità della funzione stessa; avere una solida conoscenza della teoria dell’integrabilità secondo Riemann, eventualmente generalizzato, e saperla inoltre applicare al calcolo di integrali. Conoscere i vari criteri di convergenza per serie numeriche e comprendere il rapporto con integrali generalizzati. Conoscere il concetto di uniforme continuità e le sue conseguenze (Conoscenze e capacità di comprensione)
2) essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni. Applicare, attraverso le numerose esercitazioni svolte in aula, le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti anche di media elaborazione. Comprenderne l’applicabilità ad altri ambiti della matematica. (Capacità di applicare conoscenza e comprensione)
3) valutare la coerenza e la correttezza dei risultati ottenuti; analizzare le strategie risolutive appropriate per gli esercizi proposti, in base al bagaglio di conoscenze che ritiene di possedere (Autonomia di giudizio)
4) utilizzare un linguaggio formalmente corretto che permetta di comunicare in modo chiaro, preciso e conciso i contenuti del programma svolto. Lezioni frontali e confronti diretti con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico ed appropriato (Capacità comunicative)
5) approfondire autonomamente le proprie conoscenze, partendo da quelle basilari fornite nel corso, al fine di poter gestire appropriatamente ed efficacemente l’uso di ulteriori strumenti e concetti dell’analisi matematica, sia nei corsi successivi che nello studio individuale (Capacità di apprendimento)
6) essere in grado di proseguire gli studi, sia in Matematica che in altre discipline di tipo scientifico, con un alto grado di autonomia
7) avere una mentalità flessibile che gli permetta di adattarsi facilmente ad affrontare nuove problematiche sia in autonomia che in gruppo, di acquisire nuove conoscenze mediante uno studio autonomo, di recuperare con facilità informazioni dalla letteratura e dalle fonti a disposizione.
Prerequisiti
Contenuti dell'insegnamento
Convessità, studi di funzione e calcolo integrale per funzioni di una variabile. Serie numeriche.
Programma esteso
Monotonia: relazione tra segno derivata e monotonia, condizioni necessarie e sufficienti per massimi/minimi locali, criterio della derivata seconda e k-esima. Continuità delle funzioni monotòne.
Convessità: Insiemi e funzioni convesse, monotonia dei rapporti incrementali, relazione tra convessità, derivata prima e segno della derivata seconda. Rette e semirette tangenti.
Integrali: Partizioni di un intervallo; somme superiori ed inferiori, funzioni integrabili in un intervallo, integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; teorema della media integrale; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali. Funzioni convesse come “primitive” di funzioni monotone.
Serie numeriche: Serie convergenti, divergenti, indeterminate; serie a termini positivi: criterio di confronto, del rapporto, della radice; serie assolutamente convergenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometrica, serie telescopiche, serie armonica generalizzata e serie armonica a segni alterni.
Integrali generalizzati: Definizioni per intervalli limitati e per intervalli illimitati; funzioni sommabili; criteri di convergenza; criterio dell'integrale per le serie numeriche.
Complementi: Funzioni uniformemente continue; teorema di Heine-Borel; liminf e limsup di successioni (e di funzioni).
Bibliografia
E. Acerbi, G. Buttazzo: Primo corso di Analisi Matematica, Universitas Ed. Parma, 2023.
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 - Analisi Matematica 1, Ed. Esculapio, 2022.
Esercizi:
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 - Analisi Matematica 1 - Esercizi, Ed. Esculapio, 2023.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi matematica 1, Ed. Zanichelli, 2023.
Metodi didattici
Il corso prevede 5 ore di didattica frontale a settimana. Durante le lezioni frontali, tenute in modalità tradizionale, alla lavagna, gli argomenti verranno presentanti in modo rigoroso. Privilegiato sarà sempre il confronto con gli studenti, anche al fine di far emergere eventuali lacune pregresse sui temi trattati e tentare prontamente di recuperarle. Settimanalmente alcune ore di lezione saranno dedicate allo svolgimento di esercizi. Queste ore avranno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza. Con cadenza settimanale, come parte dello studio individuale. verrà caricato sul portale elly un file con vari esercizi da svolgere e semplici dimostrazioni, omesse in classe, da completare. Le ore di esercitazione saranno dedicate alla risoluzione dettagliata di esercizi tratti dalle dispense delle settimane precedenti, ritenuti significativi o richiesti dagli studenti.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene in due fasi. La prima consiste nella valutazione di un elaborato scritto nel quale lo studente dovrà dimostrare di sapere applicare le conoscenze, risolvendo esercizi senza l’aiuto di libri e appunti. La prova è superata se lo studente raggiunge un punteggio non inferiore a 18 e il voto massimo della prova è 30. Per gli studenti che avranno sostenuto il compito parziale previsto nel primo Modulo dell’insegnamento, la prova scritta sarà relativa solo programma del secondo Modulo, da sostenere in uno degli appelli della sessione estiva, ed il voto finale della prova scritta sarà la media dei voti dei test parziali. Per tutti gli altri studenti, verterà su tutto il programma dei due Moduli. Il superamento della prova scritta permette allo studente di sostenere la prova orale, che riguarderà il programma svolto a lezione e consisterà principalmente di domande teoriche (definizioni, teoremi, dimostrazioni); lo studente dovrà dimostrare la conoscenza e comprensione del programma dell’insegnamento utilizzando un formalismo matematico corretto e una proprietà di linguaggio adeguata. Il voto finale sarà dato da una media pesata dei due voti. Lo scopo di questo tipo di valutazione della prestazione dello studente è quello di tentare di valutare in modo affidabile il livello di raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi sopra esposti, in particolare i punti da 1) a 4).
Altre informazioni
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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