Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali dell'analisi in più variabili e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati fornitigli o da lui ottenuti.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.
Prerequisiti
E’ obbligatorio aver superato gli esami di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
1. Curve.
2. Funzioni vettoriali: continuità e limiti.
3. Calcolo differenziale in più variabili.
4. Integrali multipli.
5. Equazioni differenziali.
Programma esteso
1. Curve.
Preliminari (algebra lineare; coordinate polari e rotazioni nel piano). Curve parametriche (velocità e accelerazione; curve regolari). Curve in coordinate polari. Lunghezza di una curva (curve in forma polare; curve cartesiane; curve regolari a tratti). Riparametrizzazioni (elica cilindrica). Curvatura e torsione.
2. Funzioni vettoriali: continuità e limiti.
Funzioni reali di due variabili reali (insiemi di livello). Coordinate polari, sferiche e cilindriche (funzioni vettoriali). Elementi di topologia. Funzioni continue (teorema dei valori intermedi; funzioni lipschitziane e uniformemente continue; la funzione distanza da un insieme). Integrale di una funzione lungo una curva (integrale curvilineo di funzioni; integrale curvilineo di campi di vettori; integrale lungo la frontiera orientata di un insieme del piano). Forme quadratiche (criterio di Sylvester). Limiti di funzioni.
3. Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali (matrice Jacobiana; un importante controesempio; derivate direzionali). Funzioni differenziabili (infinitesimi e sviluppi di Taylor; differenziale; direzione di massima pendenza; teorema del differenziale totale; funzioni a valori vettoriali differenziabili). Operazioni con le derivate parziali. Derivate successive (teorema di Schwarz; formula di Taylor). Massimi e minimi locali (teorema di Fermat; natura dei punti stazionari; condizioni sufficienti in dimensione due e tre). Massimi e minimi vincolati (moltiplicatori di Lagrange in due variabili). Superfici nello spazio euclideo (moltiplicatori di Lagrange in tre variabili). Potenziali e integrali curvilinei (campi irrotazionali).
4. Integrali multipli.
Integrale su un rettangolo (formule di riduzione per integrali doppi). Integrazione su un insieme normale. Cambio di variabile (coordinate polari; un esempio di integrale improprio; trasformazioni implicite). Integrali in tre dimensioni (integrazione per fili, integrazione per strati, cambio di variabile).
5. Equazioni differenziali.
Esempi introduttivi. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi. Esistenza, prolungabilità e unicità delle soluzioni. Equazioni differenziali del primo ordine (equazioni lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili; equazioni di Bernoulli). Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (variazione delle costanti). Sistemi lineari con coefficienti costanti.
Bibliografia
Qualsiasi testo di Elementi di Analisi Matematica 2.
Metodi didattici
Lezioni in presenza. Saranno fornite le dispense del corso. Attività di esercitazione in presenza.
Modalità verifica apprendimento
Non sono previste prove in itinere.
E’ prevista una prova scritta finale della durata di due ore e mezza con esercizi a risposta aperta, sia di tipo computazionale che teorico. Dopo il superamento della prova scritta è previsto un colloquio orale obbligatorio che verte sulla discussione della prova scritta, sui risultati teorici utilizzati ed eventualmente sulla dimostrazione di uno dei risultati fondamentali.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la partecipazione attiva alle lezioni del corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
