Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere. Alla fine del percorso di insegnamento, lo studente dovrà possedere una robusta conoscenza degli elementi di base della teoria della misura e degli spazi BV e dovrà essere in grado di comprendere come questi strumenti matematici entrano in gioco per la risoluzione di problemi di carattere geometrico, usando l’approccio classificato dall’etichetta teoria geometrica della misura.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione. Grazie sia agli esempi svolti in aula che alle dimostrazioni lasciate per esercizio (o semplicemente accennate), lo studente apprenderà sia a maneggiare con consapevolezza e familiarità gli strumenti teorici presentati nel corso, sia ad applicarli ad un contesto concreto di problemi geometrici legati principalmente all’esistenza di superfici minime. Dovrà inoltre essere pienamente consapevole degli esempi cardine su cui sono modellati esempi e costruzioni generali ed astratte.
Autonomia di giudizio. Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza delle dimostrazioni, costruendo e sviluppando argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni. Inoltre, dovrà essere in grado di valutare la verosomiglianza di risultati generali a partire da casi modello o da analogie con conoscenze già acquisite.
Capacità comunicative. Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso, appropriato per un matematico in stadio avanzato di formazione, contenuti matematici relativi al programma svolto. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione di un lessico scientifico specifico ed appropriato.
Capacità di apprendimento. Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze negli ambiti trattati, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni e/o in lingua inglese, al fine di affrontare efficacemente problematiche complesse inerenti tali argomenti, eventualmente come parte di tesi di laurea magistrali.
Prerequisiti
Conoscenza degli elementi di base della teoria della misura astratta e misura di Lebesgue (che nel caso di lacune verrà comunque ripassata).
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di continuare il percorso iniziato nel corso di Analisi superiore 1 (come erogato negli ultimi anni) con lo studio dello spazio BV e, come applicazioni, gli insiemi di perimetro finito e le disuguaglianze isodiametrica ed isoperimetrica. Una larga introduzione sarà dedicata alla teoria della misura generale necessaria per affrontare gli argomenti prìncipi del corso.
Programma esteso
Eventuale ripasso se necessario: sigma algebre, misure esterne, misurabilità secondo Carathéodory, misure regolari, Boreliane, di Radon, restrizioni di misure, funzioni misurabili, teoremi di Lusin, Egoroff. Funzioni integrabili, lemma di Fatou, teorema di convergenza dominata di Lebesgue. Misure prodotto e teorema di Fubini-Tonelli. Misura di Lebesgue 1 ed n-dimensionale, lemmi di ricoprimento (Vitali e Besicovitch).
Differenziazione di misure di Radon, assoluta continuità, Teorema di Radon-Nikodym, Teorema di decomposizione di Lebesgue, Teorema di differenziazione di Lebesgue, rappresentante preciso. Compattezza (debole) per misure e per funzioni integrabili.
Misure e dimensione di Hausdorff, simmetrizzazione di Steiner, disuguaglianza isodiametrica. Punti di densità di un insieme, stime sulla densità.
Funzioni BV, Teorema di struttura per BV, semicontinuità inferiore della variazione totale, approssimazione delle derivate nella topologia debole, compattezza in BV, disuguaglianze di Poincaré e Sobolev in BV, formula di coarea.
Insiemi di perimetro finito. Disuguaglianza isoperimetrica. Frontiera ridotta, blow-up, normale (nel senso degli insiemi di perimetro finito), teorema di struttura per gli insiemi di perimetro finito (cenni), frontiera essenziale. Teoremi di Gauss-Green.
Bibliografia
Evans, Gariepy: Measure theory and fine properties of functions (revised edition). Taylor and Francis, 2015.
DiBenedetto: Real analysis. Birkhäuser, 2002.
Maggi: Sets of finite perimeter and geometric variational problems. Cambridge University press, 2012.
Metodi didattici
Le lezioni del corso saranno svolte in presenza alla lavagna. Diverse dimostrazioni semplici saranno lasciate per esercizio agli studenti, in modo da aumentare durante tutto il corso il loro livello di padronanza con gli argomenti insegnati.
Modalità verifica apprendimento
L’esame consisterà in una prova orale di durata approssimativa un’ora e mezzo in cui sarà valutata la conoscenza dei risultati presentati nel corso, delle loro dimostrazioni e la padronanza di tali argomenti anche attraverso la risoluzione di semplici problemi nell'ambito della teoria svolta.
Altre informazioni
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
