Obiettivi formativi
Sviluppare un rigoroso linguaggio matematico.
Assimilare concetti astratti, teoremi e relative dimostrazioni inerenti la topologia differenziale.
Apprendere tecniche per la risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese.
Prerequisiti
Basi di algebra lineare, geometria differenziale, topologia e analisi.
Contenuti dell'insegnamento
Topologia differenziale
Programma esteso
Richiami sulle varietà differenziabili:
funzioni liscie e varietà differenziabili; spazio tangente e differenziale; fibrato tangente; immersioni e submersioni; il teorema delle funzione inversa; immersioni e embedding negli spazi euclidei.
Varietà con bordo:
varietà con bordo; differenziale e spazio tangente sulle varietà con bordo; classificazione delle 1-varietà.
Valori regolari e valori critici:
preimmagine di un valore regolare; sistemi di equazioni su una varietà; insiemi di misura nulla e il Teorema di Sard; il Teorema di immersione di Whitney.
Trasversalità:
applicazioni trasversali a una sottovarietà; intersezioni tra sottovarietà; trasversalità per varietà con bordo; Teorema del punto fisso di Brouwer; stabililità e generalità della trasversalità.
Teoria dell'intersezione modulo 2:
numero di intersezione modulo 2; teoria del grado modulo 2; indice di avvolgimento modulo 2; Teorema di separazione di Jordan-Brouwer; il Teorema di Borsuk-Ulam.
Bibliografia
1. V. Guillemin, A. Pollack; Differential topology, Prentice-Hall 1974.
2. T. Brocker Guillemin, K. Janich, Introduction to Differential Topology, Cambridge University Press, 1973.
3. J.W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, 1965.
4. A. Kosinski, Differential Manifolds, Academic Press, 1992.
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Modalità verifica apprendimento
Discussione orale di esercizi proposti durante il corso.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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