Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Al termine del corso lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative
agli elementi di base della teoria dei semigruppi di operatori in spazi di Banach e come applicare tale teoria a diverse equazioni di evoluzione a derivate parziali.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Attraverso gli esercizi svolti in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi espliciti.
Autonomia di giudizio:
lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui/lei o da altri.
Capacità comunicative:
lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici
relativi al programma svolto. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il
docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento:
lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito degli argomenti del corso, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado
di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni.
Prerequisiti
Calcolo differenziale per funzioni di una e piu' variabili reali. Algebra lineare. Topologia.
Teoria della misura ed integrazione secondo Lebesgue. Elementi di base di analisi funzionale lineare.
E' raccomandata, anche se non indispensabile, la conoscenza degli spazi di Sobolev rispetto alla misura di Lebesgue.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso fornisce una panoramica sulle equazioni di evoluzione lineari trattate con metodi di equazioni differenziali in spazi di Banach (teoria dei semigruppi). A questo scopo vengono fornite nozioni su operatori lineari in spazi di Banach generalmente trascurate dai corsi di Analisi Funzionale forniti dal nostro Ateneo, in particolare riguardanti la teoria spettrale e la teoria degli integrali di funzioni di variabile reale o complessa con valori in spazi di Banach. Queste basi sono usate per lo sviluppo della teoria dei semigruppi, sia fortemente continui che analitici. Sono studiati problemi di Cauchy sia omogenei che non omogenei, trattando questioni di esistenza, unicità, regolarità e comportamento asintotico delle soluzioni.
Programma esteso
Funzioni di variabile reale con valori in spazi di Banach, integrali e derivate.
Funzioni di variabile complessa con valori in spazi di Banach, integrali di linea.
Equazioni differenziali lineari e relativi problemi di Cauchy con operatori limitati.
Spettro, risolvente, e proprieta' spettrali di operatori lineari in spazi di Banach.
Semigruppi fortemente continui e loro generatori.
Il Teorema di Hille-Yosida.
Problemi di Cauchy non omogenei. Applicazioni a problemi di Cauchy per equazioni lineari alle derivate parziali.
Operatori settoriali e semigruppi analitici.
Regolarità delle soluzioni di problemi di Cauchy, sia in problemi omogenei che in problemi non omogenei.
Comportamento asintotico sia in problemi omogenei che in problemi non omogenei. Applicazioni a equazioni a derivate parziali di tipo parabolico.
Bibliografia
Dispense del docente;
K.-J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer–Verlag, 2000.
Metodi didattici
Lezioni frontali e esercizi assegnati, svolti dagli studenti e poi discussi in aula. Delle sei ore settimanali a disposizione, quattro saranno di lezioni frontali e due dedicate agli esercizi.
Se le aule non saranno accessibili per l'emergenza Covid, le lezioni saranno tenute online tramite Microsoft Teams.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso
una prova orale in presenza in cui verrà valutata
la conoscenza e la padronanza dei risultati presentati nel corso, le loro dimostrazioni, e la capacità di risolvere semplici problemi nell'ambito della teoria svolta.
Se le aule non saranno disponibili a causa dell'emergenza Covid, gli esami verranno svolti online tramite Microsoft Teams.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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