Obiettivi formativi
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria di Galois.
Prerequisiti
Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra ed Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B).
Contenuti dell'insegnamento
Proseguendo lo studio dell’Algebra e dell’Algebra Lineare del primo anno, il corso si propone di illustrare le basi della teoria delle estensioni algebriche di campi e della teoria di Galois e offrire un’introduzione alla teoria degli spazi algebrici.
Programma esteso
Richiami di teoria dei gruppi, anelli e campi.
Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Proprietà strutturali dei gruppi risolubili.
Estensioni di campi finite ed algebriche.
Teorema di esistenza della chiusura algebrica.
Campi di rottura, campi di spezzamento, estensioni normali.
Campi finiti.
Estensioni non separabili.
Estensioni di Galois.
Estensioni cicliche, risolubili e radicali.
Teoria di Kummer.
Teorema della corrispondenza di Galois.
Applicazioni della teoria di Galois: dimostrazione di Galois del teorema di Abel-Ruffini e criterio di costruttibilità di un numero complesso.
Introduzione agli spazi algebrici: Nullstellensatz; spazi algebrici e varietà. Spettro di un anello.
Bibliografia
S. Lang, Algebra, Graduate Text in Mathematics, Springer.
Metodi didattici
Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento prevede la consegna di un numero minimo di esercizi svolti ed una prova orale, che si svolgeranno generalmente in un’unica sessione. La prova orale consisterà nella dimostrazione dei teoremi principali e nello svolgimento di un esercizio. La preparazione per lo svolgimento degli esercizi sarà agevolata tramite l'assegnazione regolare di esercizi, sia computazionali che teorici.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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