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Università degli Studi di Parma Università degli Studi di Parma
Laurea in
Matematica
Università degli Studi di Parma
Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche e Informatiche

ALGEBRA 2
cod. 1011686

Anno accademico 2024/25
2° anno di corso - Secondo semestre
Docente
Andrea APPEL
Settore scientifico disciplinare
Algebra (MAT/02)
Ambito
A scelta dello studente
Tipologia attività formativa
A scelta dello studente
48 ore
di attività frontali
6 crediti
sede:
insegnamento
in - - -
orari del corso
appelli d'esame
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Obiettivi formativi


Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria di Galois.

Prerequisiti


Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra ed Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B).

Contenuti dell'insegnamento

La teoria di Galois è uno degli argomenti più affascinanti della matematica, che unisce eleganza e potenza in un modo che pochi altri risultati riescono a fare. Al centro vi è il concetto di gruppo di simmetria, utilizzato per studiare le equazioni polinomiali e stabilire quando possono essere risolte per radicali. L’intuizione fondamentale è che la struttura del gruppo di simmetria (un gruppo di automorfismi associato alle radici di un polinomio) determina la risolubilità dell’equazione. Questo ha inaugurato lo studio sistematico della teoria dei gruppi, una pietra angolare della matematica moderna. Da qui nascono il Programma di Erlangen di Felix Klein, che ha esteso le idee di Galois alla geometria, e la teoria dei gruppi di Lie, diventati un pilastro della matematica di oggi, in particolare, dell'algebra, della geometria algebrica e differenziale, dell’analisi armonica e della fisica teorica.

Proseguendo lo studio dell’Algebra e dell’Algebra Lineare del primo anno, il corso si propone di illustrare le basi della teoria delle estensioni algebriche di campi e della teoria di Galois, corredata da applicazioni e numerosi esempi.

Programma esteso


Richiami di teoria dei gruppi, anelli e campi.
Classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Proprietà strutturali dei gruppi risolubili.
Estensioni di campi finite ed algebriche.
Teorema di esistenza della chiusura algebrica.
Campi di rottura, campi di spezzamento, estensioni normali.
Campi finiti.
Estensioni non separabili.
Estensioni di Galois.
Estensioni cicliche, risolubili e radicali.
Teoria di Kummer.
Teorema della corrispondenza di Galois.
Applicazioni della teoria di Galois: dimostrazione di Galois del teorema di Abel-Ruffini e criterio di costruttibilità di un numero complesso.
Introduzione agli spazi algebrici: Nullstellensatz; spazi algebrici e varietà. Spettro di un anello.

Bibliografia


S. Lang, Algebra, Graduate Text in Mathematics, Springer.

Metodi didattici


Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi.

Modalità verifica apprendimento


La verifica dell’apprendimento prevede la consegna di un numero minimo di esercizi svolti ed una prova orale, che si svolgeranno generalmente in un’unica sessione. La prova orale consisterà nella dimostrazione dei teoremi principali e nello svolgimento di un esercizio. La preparazione per lo svolgimento degli esercizi sarà agevolata tramite l'assegnazione regolare di esercizi, sia computazionali che teorici.

Altre informazioni

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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile

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Referenti e contatti

Numero verde

800 904 084

Segreteria studenti

E-mail: segreteria.scienze@unipr.it
 

Servizio per la qualità della didattica

Manager della didattica:
dott.ssa Giulia Bonamartini
T. +39 0521 904157
E-mail servizio smfi.didattica@unipr.it
E-mail del manager giulia.bonamartini@unipr.it

Presidente del corso di studio

Prof. Luca Lorenzi
E-mail: luca.lorenzi@unipr.it

Delegato orientamento in ingresso

Prof. Luca Lorenzi
E-mail: luca.lorenzi@unipr.it

Delegato orientamento in uscita

Prof.ssa Chiara Guardasoni
E-mail: chiara.guardasoni@unipr.it

Docenti tutor

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Prof. Marino Belloni
E-mail: marino.belloni@unipr.it

Prof.ssa Maria Groppi
E-mail: maria.groppi@unipr.it

Prof.ssa Chiara Guardasoni
E-mail: chiara.guardasoni@unipr.it

Prof. Luca Lorenzi
E-mail: luca.lorenzi@unipr.it

Prof. Costantino Medori
E-mail: costantino.medori@unipr.it

Prof. Adriano Tomassini
E-mail: adriano.tomassini@unipr.it

Delegati Erasmus

Prof. Leonardo Biliotti 
E-mail: leonardo.biliotti@unipr.it 
 

Responsabile assicurazione qualità

Prof.ssa Maria Groppi
E-mail: maria.groppi@unipr.it

Referente per le fasce deboli

Prof.ssa Fiorenza Morini
E-mail: fiorenza.morini@unipr.it