Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprensione: il corso ha lo scopo di fornire gli strumenti matematici utili per lo studio qualitativo di modelli differenziali. Verrà curata l’acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, verrà stimolata la capacità di esprimere contenuti in modo chiaro e lineare, si sottolineeranno i collegamenti tra le diverse parti del corso.
Durante il corso lo studente acquisirà la conoscenza e la capacità di comprensione delle applicazioni di base della Matematica alla Fisica e approfondirà la conoscenza dei fondamenti matematici della Fisica Classica. Obiettivo del corso è inoltre rendere lo studente capace di leggere e comprendere testi anche avanzati di Matematica Applicata e di Fisica Matematica e di costruire e sviluppare argomenti di Fisica Matematica, in particolare nell'ambito della modellistica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Lo studente dovrà apprendere come applicare le conoscenze acquisite: per produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici nell'ambito della Fisica Matematica, non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi e a dare di tali risultati un’interpretazione fisica; per risolvere problemi di moderata difficoltà; per formulare problemi di Fisica Matematica in una chiara e corretta forma matematica al fine di facilitare una loro analisi e risoluzione; per comprendere gli eventuali collegamenti tra i diversi settori e tematiche della Matematica, in particolare della Fisica Matematica, nonché tra queste e i settori delle altre discipline; per valutare e comprendere ed eventualmente proporre la formulazione di modelli fisici elementari;
Lo studente sarà inoltre in grado di applicare autonomamente gli strumenti acquisiti alla formulazione e allo studio di semplici modelli applicativi e sarà in grado di utilizzare strumenti computazionali come supporto ai processi matematici.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche pertinenti agli aspetti teorici e metodologici della Fisica Matematica in generale, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, nonché di proporre una ragionevole interpretazione fisica di tali assunti e conclusioni. Inoltre lo studente sarà in grado di riconoscere dimostrazioni corrette e individuare ragionamenti fallaci, nonché di proporre e analizzare semplici modelli matematici associati a situazioni concrete derivanti da altre discipline, e di usare tali modelli per facilitare lo studio del fenomeno in esame.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà acquisire il linguaggio specifico della Fisica Matematica e la capacità di lavorare su argomenti pertinenti alla Fisica Matematica sia in autonomia che in gruppo.
Al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la modellistica matematica nell'ambito della Fisica Matematica sia ad un pubblico specializzato che ad un pubblico non specializzato, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento
Lo studente dovrà essere in grado di: proseguire negli studi, sia in Matematica che in altre discipline di tipo scientifico, con un alto grado di autonomia e con mentalità flessibile; di acquisire nuove conoscenze mediante la consultazione autonoma di testi specialistici, riviste scientifiche o divulgative. Inoltre acquisirà competenze nell'utilizzo di software di calcolo scientifico.
Prerequisiti
Matematica di base del primo anno; propedeuticità obbligatorie: Analisi Matematica 1, Meccanica Razionale
Contenuti dell'insegnamento
Il corso intende fornire un'introduzione alla modellistica matematica
mediante equazioni differenziali. Nella prima parte del corso si presenta la meccanica Hamiltoniana e gli studi qualitativi alla Weierstrass, la teoria della stabilità di Liapunov per sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Nella seconda parte si prosegue con l’analisi qualitativa di modelli matematici della Meccanica, della Dinamica di Popolazioni, dell' Epidemiologia. Infine si introduce la teoria delle biforcazioni e si arriva a studiare fenomeni di caos deterministico in sistemi differenziali continui (modello di Lorenz) e discreti (mappa di Feigenbaum).
Programma esteso
Meccanica Hamiltoniana:
Spazio delle fasi;
Trasformazioni di Legendre;
Equazioni canoniche di Hamilton.
Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di
stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni
stazionarie.
Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.
Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-
Volterra, i modelli preda-predatore, il modello epidemiologico.
Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.
Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.
Il caos deterministico: il sistema di Lorenz. Indicatori del Caos.
Sistemi dinamici discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio
Bibliografia
G.L. CARAFFINI, M. IORI, G. SPIGA, Proprietà elementari dei sistemi
dinamici, Appunti per il corso di Meccanica Razionale, UNIVERSITA' DEGLI
STUDI DI PARMA, a.a 1998-99;
G. BORGIOLI, Modelli Matematici di evoluzione ed equazioni differenziali,
Quaderni di Matematica per le Scienze Applicate/2, CELID, TORINO, 1996;
R. RIGANTI, Biforcazioni e Caos nei modelli matematici delle Scienze
applicate, LEVROTTO & BELLA TORINO, 2000;
M.W HIRSCH, S. SMALE, Differential Equations, Dynamical Systems and
Linear Algebra, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1974;
J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems
and Bifurcations of Vectors Fields, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1983;
M. SQUASSINA, S. ZUCCHER, Introduzione all'analisi qualitativa delle
equazioni differenziali ordinarie (ebook), APOGEO, 2008.
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale, alla lavagna o mediante scrittura su tablet. Durante il corso verranno proposti e studiati numerosi modelli differenziali e alle differenze, e verranno svolte alcune esercitazioni, simulando in ambiente Matlab alcuni dei modelli presentati a lezione.
Materiale didattico riguardante le lezioni e le simulazioni Matlab sarà caricato sul portale Elly.
Modalità verifica apprendimento
Le conoscenze acquisite e la capacità di comprensione dei concetti trattati verranno verificati attraverso un esame orale e la valutazione di un elaborato autonomo presentato dallo studente, riguardante lo studio qualitativo di un semplice modello matematico con simulazioni in ambiente Matlab. L'elaborato e l'esame orale concorrono in egual misura alla determinazione del voto finale.
Il superamento dell’esame è subordinato alla verifica delle seguenti competenze:
acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, capacità di risolvere semplici esercizi, capacità di comprendere e utilizzare modelli matematici, elaborazione di collegamenti tra le diverse parti del corso.
Altre informazioni
- - -
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
