Obiettivi formativi
[knowledge and understanding]
Conoscere, comprendere e saper comunicare tutti gli argomenti essenziali dell'insegnamento, in particolare le definizioni, gli enunciati dei teoremi e gli esempi trattati a lezione.
[applying knowledge and understanding]
Essere in grado di risolvere in autonomia esercizi e problemi basati sugli argomenti del corso, in particolare tutti gli ""homework"" assegnati durante le lezioni.
[making judgements]
Essere in grado di determinare quando un oggetto (evento, sigma-algebra, probabilità, variabile aleatoria, processo stocastico) è ben definito e quando gode di una o più delle proprietà introdotte nell'insegnamento.
[learning skills]
Essere in grado di leggere e comprendere un testo scientifico che presupponga una conoscenza di probabilità, variabili aleatorie, processi stocastici a tempi discreti, teoremi di convergenza.
Prerequisiti
Funzioni reali di più variabili. Limiti puntuali e uniformi. A parte questo l'insegnamento è autocontenuto, ma una conoscenza pregressa della teoria della misura può facilitare lo studio.
Contenuti dell'insegnamento
Questo insegnamento copre i concetti di base della teoria della probabilità moderna, secondo l'impostazione di Kolmogorov. Gli argomenti principali sono: spazi misurabili, eventi, variabili aleatorie, indipendenza, integrazione, speranza matematica, speranza condizionale, processi stocastici a tempi discreti, martingale, uniforme integrabilità, modi di convergenza e relativi teoremi.
Programma esteso
Spazi di probabilità, assiomi, proprietà elementari
Thm di convergenza monotona e lemmi di Fatou per la misura, subadditività numerabile
Primo lemma di Borel-Cantelli
Costruzione di spazi di probabilità discreti
Lemma di Dynkin, thm di estensione unica da un π-system
Thm di Carathéodory
Costruzione di spazi di probabilità continui
Misure di probabilità sui reali, CdF
Variabili aleatorie, σ-algebra generata, misurabilità verificata sui generatori
Misurabilità di vettori aleatori, di sup e limsup
Misura di Lebesgue e rappresentazione di Skorokhod
VA discrete e assolutamente continue
Thm delle classi monotone
Y misurabile rispetto a X sse funzione di X
Indipendenza di σ-algebre, eventi, VA, blocchi di VA; verifica sui generatori
Secondo lemma di Borel-Cantelli
Legge 0-1 di Kolmogorov
Integrale di funzioni semplici, thm di convergenza monotona e lemmi di Fatou per l'integrale
Spazio L¹, semiintegrabilità, convergenza L¹
Thm di convergenza dominata, Lemma di Scheffé
Valore atteso, principio di inclusione-esclusione
Disuguaglianze di Markov, Chebyshev, esponenziale
Disuguaglianza di Jensen
Spazi L^p
Formule elementari per il valore atteso
Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski
Varianza, covarianza, coefficiente di correlazione
Matrice di covarianza, azione delle trasformazioni lineari
Trasformata di Laplace e funzione caratteristica
Legge Gaussiana multivariata
Speranza condizionale (CE), proprietà elementari e unicità
Esistenza della CE, con Radon-Nicodym e con proiezione L²
Proprietà della CE (elenco del Williams)
Somma di una quantità geometrica di variabili i.i.d. geometriche
Legge Gamma-Poisson
Processi, filtrazioni, martingale (mg), supermg e submg
Passeggiata aleatoria, SSRW, mg esponenziale, lascia o raddoppia.
Processi arrestati, tempi d'arresto
Optional stopping thm
SSRW: tempo medio d'uscita da un intervallo, principio di riflessione
Disuguaglianza massimale
Optional sampling thm
Disuguaglianza L^p per mg
Thm di convergenza per mg L¹ e L^p
Thm di convergenza per mg backward
Legge forte dei grandi numeri
Unfirme integrabilità e caratterizzazione della convergenza L¹
Chiusura per mg forward e backward
Derivare un valore atteso
Branching processes, studio con mg
Convergenza debole e tightness
Thm di convergenza di Levy e thm del limite centrale (cenni)
Bibliografia
Francesco Morandin - Note dell'insegnamento 2020 (redatte man mano e disponibili online dopo ogni lezione)
David Williams - Probability with Martingales
Metodi didattici
48 ore di lezioni frontali. Durante le lezioni vengono affrontati tutti gli argomenti in modo formale e dando dimostrazione di quasi tutti gli enunciati. Viene prestata grande attenzione alle motivazioni e vengono illustrati alcuni esempi di applicazioni. Non sono previste esercitazioni vere e proprie, ma vengono regolarmente assegnati degli homework che gli studenti sono invitati a svolgere in autonomia ed eventualmente chiedere a ricevimento.
Modalità verifica apprendimento
L'esame è composto di scritto e orale. Lo scritto è composto da esercizi (che richiedono di applicare le definizioni e proprietà studiate) e da problemi teorici (che richiedono di dimostrare qualcosa). L'orale è basato sulla conoscenza della teoria e sugli homework.
Per superare l'esame lo studente deve mostrare correttezza del linguaggio e del formalismo matematico. Deve conoscere bene gli oggetti matematici e i risultati dell'insegnamento e saperli usare con naturalezza. Deve avere la capacità di condurre dimostrazioni in autonomia.
Altre informazioni
Il materiale didattico disponibile sul sito di e-learning dell'insegnamento comprende i video e le lavagnate delle lezioni, che sono svolte tramite tablet computer
