Obiettivi formativi
ll primo modulo del corso di Geometria 2 ha come obiettivo principale lo studio delle principali proprietà degli spazi topologici e una prima introduzione alla Topologia Algebrica.
Alla fine del corso, gli studenti avranno una certa familiarità con le nozioni fondamentali di connessione, compattezza, con gli assiomi di separazione, e di numerabilità, con la topologia prodotto e la topologia quoziente, con gli spazi metrici, con la teoria dell'omotopia, del gruppo fondamentale e dei rivestimenti. Saranno inoltre in grado di affrontare la risoluzione di problemi di natura teorica e pratica nell'ambito della Topologia Generale e della Topologia Algebrica.
Prerequisiti
Analisi 1, Geometria 1.
Contenuti dell'insegnamento
Geometria 2, prima parte: Topologia Generale, Topologia algebrica.
Programma esteso
Primo modulo.
1. Spazi Topogici.
1.1. Topologie su un insieme. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
1.2 Intorni. Sistemi fondamentali di intorni.
1.3. Topologie banali. Topologia Euclidea, Topologia cofinita, Topologie della semicontinuità inferiore e superiore.
1.4 Punti di accumulazione. Chiusura, Derivato, Interno e frontiera di un insieme. Successioni in uno spazio topologico. Successioni convergenti.
1.5. Basi di uno spazio topologico. Sottobasi. Topologia generata da una classe di sottoinsiemi.
1.6. Sottospazi topologici.
1.7 Distanze su un insieme.
1.8 Spazi metrici.
2. Applicazioni Continue.
2.1. Applicazioni continue tra spazi topologici.
2.2. Continuità puntuale.
2.3. Applicazioni aperte, chiuse. Omeomorfismi.
3. Topologia prodotto.
3.1. Prodotto di un numero finito di spazi topologici. Basi per il prodotto topologico
3.2. Prodotto di una famiglia arbitraria di spazi topologici.
3.2. Prodotto di un'infinità numerabile di spazi metrici.
4. Topologia quoziente.
4.1. Quoziente di spazi topologici. Proiezione canonica.
4.2. Saturato. Corrispondenza tra aperti saturi e aperti della topologia quoziente.
4.3. Lo spazio proiettivo reale. Lo spazio proiettivo complesso. Le Grassmanniane.
4.4. Il toro n-dimensionale.
5. Gli assiomi di separazione e di numerabilità.
5.1. L'assioma T0 e l'assioma T1.
5.2. L'assioma di Hausdorff.
5.3. Spazi regolari e spazi normali.
5.4 Spazi 1-numerabili.
5.5. Spazi 2-numerabili. Teorema di Lindelöff.
6. Connessione.
6.1. Spazi topologici connessi.
6.2. I connessi della retta reale.
6.3. Connessione e mappe continue.
6.4. Famiglie di sottoinsiemi connessi. Prodotto di connessi.
6.5. Spazi localmente connessi. La griglia.
6.6. Connessione per archi.
7. Compattezza.
7.1. Ricoprimento aperti di uno spazio topologico. Spazi quasi compatti e spazi compatti.
7.2. Compattezza continue.
7.3. Il Teorema di Heine-Borel.
7.4. Il Teorema di Tychonoff.
7.5 I compatti dello spazio reale euclideo.
7.6 Il Teorema di Bolzano-Weierstrass.
7.7. Spazi metrici compatti.
7.8. Compattificazione di Alexandroff di uno spazio topologico.
8. Spazi metrici.
8.1. Spazi metrici completi.
8.2. Completamento di uno spazio metrico.
8.3. Estensione di applicazioni continue.
8.4 Il Teorema delle contrazioni.
8.5. Il Lemma di Urysohn.
8.6. Il Lemma di Baire.
9. Omotopia, gruppo fondamentale e spazi di rivestimento.
9.1. Il lemma di incollamento.
9.2. Omotopia tra applicazioni.
9.3. Omotopia tra cammini.
9.4. Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
9.5. Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale.
9.6. Il gruppo fondamentale della circonferenza.
9.7. Rivestimenti di uno spazio topologico.
9.8. G-spazi. Gruppo fondamentale di un G-spazio.
9.9. Il Teorema di Seifert-Van Kampen.
Bibliografia
V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di topologia generale, Feltrinelli, 1976.
E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 1998.
J.R. Munkres, Topology, Pearson College Div; 2 edizione, 2017.
J.R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Francis and Taylor, 1996.
C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, 1988.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni. Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di problemi concreti.
Modalità verifica apprendimento
L'esame finale del corso di Geometria 2 consiste in una prova scritta e in una prova orale. In luogo della prova scritta, gli studenti possono sostenere due prove intermedie. La valutazione delle prove intermedie e della prova scritta è così articolata: gli studenti che totalizzano un punteggio tra 24 e 30, conseguono A.
Gli studenti che totalizzano un punteggio tra 18 e 23, conseguono B. Gli studenti che totalizzano un punteggio inferiore a 18, conseguono C. La prova scritta si intende superata quando si consegue almeno B. Gli studenti che conseguono almeno B nelle due prove intermedie accedono direttamente alla prova orale, che può essere svolta in qualunque appello dell'anno accademico di riferimento. La prova orale consiste nella dimostrazione di teoremi significativi e/o nell'esposizione di argomenti, definizioni, trattati nelle lezioni.
Altre informazioni
Saranno assegnati dal docente esercizi e problemi da svolgere al di fuori delle ore di lezione. Saranno distribuite note dal docente. Gli appunti del corso in formato PDF e tutto il materiale impiegato durante le lezioni e le esercitazioni sono resi disponili agli studenti sulla piattaforma per la didattica Elly.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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