Obiettivi formativi
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria dei gruppi di Lie.
Prerequisiti
Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra, Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B) e Geometria Differenziale (corsi Geometria 2A e 2B).
Contenuti dell'insegnamento
Il corso è una introduzione alla teoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie. Nella prima parte del corso ci occuperemo delle nozioni di base, dei richiami necessari di geometria differenziale, e della discussione dei problemi fondamentali della teoria. Nella seconda parte del corso, illustreremo in dettaglio la struttura dei gruppi di Lie e le loro proprietà topologiche. Nella terza parte del corso, ci occuperemo della teoria delle algebre di Lie e delle loro rappresentazioni. I tre maggiori obiettivi del corso sono il teorema di Peter-Weyl, la formula dei caratteri di Weyl e il teorema di classificazione delle algebre di Lie semplici complesse.
Programma esteso
Bibliografia
Un numero elevato di note sui gruppi di Lie e le algebre di Lie è disponibile gratuitamente online. In particolare, faremo riferimento alle Lecture Notes di P. Etingof e di A. Kirillov, Jr:
[E] P. Etingof, Lie groups and Lie algebras
https://arxiv.org/abs/2201.09397
[K] A. Kirillov Jr., An Introduction to Lie groups and Lie algebra, Cambridge University Press.
Metodi didattici
Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento prevede una prova scritta ed una prova orale, che si svolgeranno generalmente in un’unica sessione. La prova scritta avrà la durata di un’ora e consisterà nello svolgimento di alcuni esercizi. La prova orale sarà immediatamente successiva e consisterà nella dimostrazione dei teoremi principali. La preparazione per lo svolgimento degli esercizi sarà agevolata tramite l'assegnazione regolare di esercizi, sia computazionali che teorici. Ogni due settimane una lezione sarà dedicata alla discussione di esercizi.
Altre informazioni
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