GEOMETRIA 3
cod. 1001038

Anno accademico 2023/24
3° anno di corso - Primo semestre
Docenti
Settore scientifico disciplinare
Geometria (MAT/03)
Ambito
Formazione teorica
Tipologia attività formativa
Caratterizzante
72 ore
di attività frontali
9 crediti
sede:
insegnamento
in ITALIANO

Obiettivi formativi

Il corso ha come obiettivi principali lo studio delle proprietà elementari delle funzioni olomorfe di una variabile complessa e delle proprietà geometriche delle varietà differenziabili, con particolare riferimento agli aspetti coomologici di esse. Alla fine del corso, gli studenti avranno una certa familiarità con la teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa, con la formula di Cauchy, con la teoria deille serie di Laurent e con il calcolo dei residui, con il calcolo differenziale sulle varietà reali, con la teoria di Hodge su varietà Riemanniane compatte e con i primi elemtni di Geometria Riemanniana. Saranno inoltre in grado di affrontare la risoluzione di problemi di natura teorica e pratica nell'ambito della Geometria Differenziale e della Teoria delle Funzioni Olomorfe di una Variabile Complessa.

Prerequisiti

Analisi 1, 2, Geometria 1, 2, Algebra.

Contenuti dell'insegnamento

Geometria Differenziale e Teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.

Programma esteso

1. Varietà differenziabili.

1.1 Preliminari topologici
1.2 Definizione di varietà. Esempi.
1.3 Spazio tangente. Applicazioni differenziabili. Differenziale.
1.4 Campi vettoriali.
1.5 Sottovarietà.


2. Tensori e forme differenziali.

2.1 Algebra tensoriale.
2.2 Fibrati tensoriali. Forme differenziali. L'operatore d.
2.3 Derivata di Lie.


3. Integrazione su varietà.

3.1 Varietà orientabili.
3.2 La definizione di integrale.
3.3 Il teorema di Stokes.


4. Coomologia di de Rham e teoria di Hodge.

4.1 Il complesso di de Rham. Gruppi di coomologia.
4.2 Il lemma di Poincare'.
4.3 L'operatore star di Hodge.
4.4 Il teorema di Hodge. La dualita' di Poincare'.
4.5 Applicazioni e calcolo della coomologia di alcuni spazi.

5. Elementi di gruppi e algebre di Lie. Prime nozioni di geometria Riemanniana.

5.1 Gruppi di e algebre di Lie: definizioni ed esempi.
5.2 L'algebra di Lie di un gruppo. L'applicazione esponenziale.
5.3 Gruppi di matrici.
5.4 Metriche Riemanniane. Connessione di Levi-Civita. Curvatura di Riemann. Curvatura di Ricci.
5.5 Metriche invarianti su gruppi di Lie e proprietà di curvatura.

6. Funzioni Olomorfe di una Variabile Complessa.
6.1. Funzioni a valori complesse. Continuità.
6.2. Funzioni C-derivabili. Funzioni olomorfe. Condizioni di Cauchy-Riemann. L'operatore di Cauchy-Riemann.
6.3. Funzioni elementari. Polinomi, Funzioni Razionali. Esponenziale, Logaritmo, Potenza.

7. Integrazione complessa.
7.1. Integrale di una funzione a valori complessi lungo un cammino.
7.2. Domini a frontiera regolare.
7.3. Il teorema di Cauchy.
7.4. La formula di Cauchy.
7.5. Le disuguaglianze di Cauchy.
7.6. Funzioni analitiche. Il principio del prolungamento analitico. Il Teorema di Liouville. Il Teorema Fondamentale dell'algebra.

8. Serie di Laurent.
8.1. Singolarità di una funzione olomorfa.
8.2. Lo sviluppo in serie di Laurent. Sviluppo in serie di Taylor.
8.3. Il Teorema dei residui.
8.4. Applicazioni della teoria dei residui al calcolo degli integrali.

Bibliografia

[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Second edition. Pure and Applied Mathematics, 120. Academic Press, Inc., Orlando,
FL, 1986. xvi+430 pp.

[2] F. W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New
York-Berlin, 1983. ix+272.

[3] M. P. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.

[4] Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, Springer, 2003.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni. Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di problemi concreti.

Modalità verifica apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta e in una prova orale. La valutazione della prova scritta è così articolata: gli studenti che totalizzano un punteggio tra 24 e 30, conseguono A.
Gli studenti che totalizzano un punteggio tra 18 e 23, conseguono B. Gli studenti che totalizzano un punteggio inferiore a 18, conseguono C. La prova scritta si intende superata quando si consegue almeno B. La prova orale consiste nella dimostrazione di teoremi significativi e/o nell'esposizione di argomenti, definizioni, trattati nelle lezioni.
durante il corso sulla piattaforma elly.
Qualora a causa del perdurare dell’emergenza sanitaria fosse
necessario integrare con la modalità a distanza lo svolgimento degli esami di profitto si procederà come segue:
interrogazioni orali a distanza, prove scritte a distanza.

Altre informazioni

Lectures and classroom exercises.
During lectures in traditional mode, the
topics will be formally and rigorously presented. The course will give particular emphasis to application and computation aspects, while not letting out
the theoretical aspect. The classroom exercises are aimed at showing how and where the abstract results can be applied to make the students understand better the relevance of what they are studying.