Obiettivi formativi
Ci si attende che alla fine del corso lo studente sia in grado di:
- conoscere strumenti utili per affrontare problemi di Fisica Matematica;
- saper esporre in modo chiaro, con un linguaggio corretto sia dal punto di vista matematico che fisico, gli argomenti del corso;
- saper risolvere diverse tipologie di equazioni alle derivate parziali che compaiono in problemi di interesse fisico-matematico, riconducendosi ai metodi visti nel corso per le equazioni classiche.
In modo più specifico, le competenze acquisite nel corso saranno le seguenti:
- Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti conosceranno in modo approfondito e sapranno utilizzare in autonomia strumenti matematici nell'ambito della Fisica Matematica; inoltre acquisiranno un livello di comprensione dei contenuti e delle teorie matematiche più recenti sugli argomenti del corso tali da metterli in grado di leggere e comprendere testi avanzati e articoli di ricerca, e di elaborare poi idee originali in contesti specifici di ricerca.
- Capacità di applicare conoscenze e comprensione: gli studenti saranno in grado di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici anche
originali e di affrontare problemi nell'ambito delle equazioni della Fisica Matematica, formulando modelli nuovi e studiandone le proprietà mediante metodi analitici e numerici.
- Autonomia di giudizio: gli studenti dovranno costruire argomentazioni logiche anche in forme ampie e articolate, mostrandosi in grado di
riconoscere dimostrazioni corrette o invece fallaci.
- Abilità comunicative: gli studenti dovranno esporre oralmente in modo chiaro e matematicamente corretto gli argomenti del corso.
- Capacità di apprendimento: il corso aiuterà gli studenti a formare una mentalità flessibile che permetta loro inserirsi in ambienti di lavoro che
richiedono la capacità di affrontare problematiche sempre nuove, o di proseguire gli studi all'interno di un Master di secondo livello o di un Dottorato di Ricerca in Italia o all'estero.
Prerequisiti
Conoscenze dei contenuti dei corsi di matematica per la laurea triennale della classe L-35.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso può pensarsi suddiviso in tre parti.
1) Funzioni complesse di una variabile complessa.
Trasformata di Fourier e trasformata di Laplace.
2) Funzione di Green e problemi di Sturm-Liouville per operatori differenziali lineari del II° ordine.
PDEs quasi-lineari del I° ordine.
3) Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine.
Equazioni fondamentali della fisica matematica: equazione di Laplace, equazione del calore, equazione delle onde.
Leggi di conservazione.
Programma esteso
Funzioni complesse di una variabile complessa: condizioni di Cauchy-Riemann, classificazione delle singolarità, calcolo dei residui, integrazione in campo complesso, serie di Laurent.
Trasformata di Fourier e trasformata di Laplace: definizioni e proprietà, trasformate delle funzioni fondamentali, trasformata della delta di Dirac, antitrasformate.
Funzione di Green e problemi di Sturm-Liouville per operatori differenziali lineari del II° ordine.
PDEs quasi-lineari del I° ordine.
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, lineari, in due variabili indipendenti; problema di Cauchy.
Equazioni fondamentali della fisica matematica: equazione di Laplace, equazione del calore, equazione delle onde (derivazione fisica, proprietà matematiche, metodi di risoluzione).
Leggi di conservazione.
Bibliografia
F. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti, Analisi complessa - Trasformate - Equazioni Differenziali, Esculapio, Milano.
S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, Milano.
G. Spiga, Problemi matematici della Fisica e dell'Ingegneria, Pitagora, Bologna.
A. N. Tichonov, A. A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica, MIR, Mosca.
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni.
Per le modalità di svolgimento del corso verranno seguite le indicazioni dell'ateneo, si auspica di poterlo svolgere in presenza.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste in un colloquio orale, in cui si valuta il livello di conoscenza e comprensione acquisito dallo studente, e la capacità di esporre gli argomenti in modo matematicamente corretto.
Di norma l'esame orale consiste in tre domande, una su ciascuna delle parti del corso descritte nella sezione "Contenuti".
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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