Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire quelle conoscenze, anche già affrontate durante le scuole primarie e secondarie, che sono necessarie per seguire i corsi del primo anno. Durante l’attività formativa lo studente avrà la possibilità di recuperare eventuali lacune e/o di consolidare le conoscenze di cui è già in possesso.
Al termine del corso ci si attende che lo studente sia in grado di:
Conoscenza e capacità di comprensione:
- conoscere gli insiemi numerici e le loro proprietà
- aver compreso la logica delle proposizioni
- ricordare tutte le proprietà dei vari tipi di equazioni, disequazioni e sistemi
- conoscere tutta la teoria generale sulle funzioni
- conoscere i fondamenti della trigonometria
- aver compreso i concetti di valore assoluto, esponenziale e logaritmo
- riconoscere le equazioni e le figure base della geometria analitica
- aver compreso i concetti di base dell’insiemistica e la loro relazione con la logica delle proposizioni
- conoscere il concetto di cardinalità e la relazione con le proprietà delle funzioni
- conoscere i vari tipi di induzione e comprendere quale sia il più adatto al problema affrontato
- ampliare i concetti di geometria analitica alla comprensione dei sottoinsiemi del piano cartesiano
Conoscenza e capacità di comprensione applicate:
- mettere in ordine i numeri, scomporre un polinomio
- svolgere calcoli con frazioni, radicali, esponenziali e logaritmi
- calcolare il seno, il coseno e la tangente di un angolo noto
- analizzare e negare una proposizione
- risolvere ogni tipo di equazione o disequazione, sia essa di primo o secondo grado, di grado superiore al secondo, con valore assoluto, irrazionale, trigonometrica, esponenziale, logaritmica o un sistema
- determinare il dominio, l’immagine e le controimmagini di una funzione di cui è assegnato il disegno del grafico, saper stabilire se una funzione è iniettiva, suriettiva, crescente o decrescente
- disegnare il grafico delle funzioni elementari e di una funzione definita a tratti costruita con funzioni ottenute da quelle elementari tramite trasformazioni
- applicare la geometria analitica all’analisi di rette, parabole, circonferenze, ellissi e iperboli
- dimostrare le proprietà degli insiemi, anche a partire dalla definizione intensionale
- comprendere come le varie proprietà delle funzioni si comportino rispetto alla composizione
- applicare le proprietà delle funzioni al calcolo delle cardinalità
- dimostrare proposizioni usando le varie forme di induzione
- individuare sottoinsiemi del piano cartesiano definiti da equazioni, disequazioni, sistemi in una e due variabili
Autonomia di giudizio:
- saper affrontare un approfondimento autonomo di eventuali applicazioni all’interno dei corsi successivi
- comprendere la struttura logica di semplici enunciati e immaginare un percorso dimostrativo
Abilità comunicative:
- aver sviluppato la capacità di lavorare sia in autonomia sia in gruppo
Capacità di apprendere:
- essere in grado di proseguire gli studi in Matematica o in altre discipline scientifiche con un buon grado di autonomia.
Prerequisiti
Prerequisiti minimi: conoscenze matematiche di base.
Essendo la preparazione in ingresso degli studenti molto varia in funzione del percorso di studio e della scuola di provenienza sulla piattaforma Elly 2021-22 nell’argomento CONOSCENZE PRELIMINARI è disponibile del materiale (lezioni più esercizi) relativo alle conoscenze matematiche di base. L’elenco dettagliato delle conoscenze di base consigliate è reperibile nella sezione “PROGRAMMA ESTESO – PREREQUISITI”.
Inoltre dall’1 al 10 settembre si svolge un PRECORSO ONLINE dedicato alle conoscenze matematiche di base.
Sono molto utili tutte le ulteriori conoscenze relative alla matematica delle scuole primarie e secondarie.
Contenuti dell'insegnamento
Modulo didattico 1 (3CFU – C.L. in MATEMATICA e FISICA):
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
FUNZIONI (GENERALITÀ)
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
GEOMETRIA ANALITICA
Modulo didattico 2 (3CFU – C.L. in MATEMATICA):
FUNZIONI (APPROFONDIMENTI)
ELEMENTI DI TEORIA INGENUA DEGLI INSIEMI
CARDINALITÀ
INDUZIONE MATEMATICA
DISEQUAZIONI IN DUE VARIABILI, SOTTOINSIEMI DEL PIANO CARTESIANO
Programma esteso
Modulo didattico 1 (3CFU – C.L. in MATEMATICA e FISICA):
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI
Proprietà delle uguaglianze e delle diseguaglianze, passaggio al reciproco, elevamento al quadrato.
Equazioni e disequazioni di qualunque grado, fratte e prodotto, equazioni e disequazioni biquadratiche. Sistemi di equazioni e disequazioni.
LOGICA DELLE PROPOSIZIONI
Logica delle proposizioni: definizione di proposizione, valore di verità, esempi, connettivi logici (non, e, o), tabelle di verità, predicati, quantificatori (per ogni, esiste, esiste unico), negazione di una proposizione. Implicazione, esempi, negazione di un’implicazione, controesempio, condizione necessaria e condizione sufficiente. Connettivo biimplica e negazione di un’equivalenza, principio della dimostrazione per assurdo. Scritture estese ed abbreviate, negazione di tali scritture.
Analisi di una proposizione e della sua negazione.
FUNZIONI (GENERALITÀ)
Definizione di funzione, dominio, grafico, immagine, immagine e controimmagini di un elemento, funzioni iniettive, suriettive, biunivoche.
Funzioni crescenti e decrescenti, funzioni monotone. Legame tra monotonia ed iniettività.
Negazione di tutte le definizioni.
Funzioni definite a tratti.
Operazioni sulle funzioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, reciproco, rapporto, composizione. Effetto di tali operazioni sulle funzioni iniettive, suriettive, biunivoche e monotone.
Funzione inversa, grafico della funzione inversa.
Funzione radice quadrata, funzione radice cubica.
Equazioni e disequazioni irrazionali.
Funzioni pari e dispari.
Funzione valore assoluto. Equazioni e disequazioni con valore assoluto.
GEOMETRIA ANALITICA
Ripasso: rette e parabole.
Circonferenze: luogo dei punti, centro, raggio, equazione canonica.
Ellissi: luogo dei punti, fuochi, centro, vertici, semiassi, equazione canonica.
Iperbole: luogo dei punti, fuochi, centro, vertici, asintoti, equazione canonica.
Intersezioni tra le varie coniche.
FUNZIONI ESPONENZIALI e LOGARITMI
Funzioni esponenziali: andamento e grafico, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
Logaritmi: definizione, operazioni con i logaritmi, cambiamento di base, grafico del logaritmo in qualunque base ed in particolare con base naturale, risoluzione di semplici equazioni e disequazioni.
FUNZIONI (GRAFICI)
Riepilogo del grafico di tutte le funzioni elementari, compresi il grafico del seno, del coseno e della tangente. Ricostruzione dell’equazione di una parabola noto il vertice.
Grafici da altri grafici: traslazioni, omotetie e simmetrie, grafico del valore assoluto di una funzione |f(x)| e di f(|x|).
Modulo didattico 2 (3CFU – C.L. in MATEMATICA):
APPROFONDIMENTI SULLE FUNZIONI: composizione di mappe iniettive, suriettive, biunivoche.
ELEMENTI DI TEORIA INGENUA DEGLI INSIEMI: definizioni di unione, intersezione, insieme vuoto, differenza, differenza simmetrica, prodotto cartesiano, proprietà fondamentali di tali operatori. Inclusione, sottoinsiemi, insieme delle parti. Teoria degli insiemi da un punto di vista proposizionale-logico.
CARDINALITÀ: definizione di cardinali, insiemi finiti, equipotenza, numerabilità di Q, teorema di Cantor (cardinalità dell’insieme delle parti), non numerabilità di R.
INDUZIONE MATEMATICA: induzione base, varianti. Sommatorie.
DISEQUAZIONI IN DUE VARIABILI: sottoinsiemi del piano cartesiano definiti da equazioni e disequazioni in due variabili, sistemi di equazioni e disequazioni. Sottografici e sopragrafici di funzioni. Ripasso di coniche.
Bibliografia
Testi di riferimento:
Testi consigliati:
E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica Preuniversitaria di Base. Pitagora Editrice, Bologna (2003).
F.G. Alessio, C. de Fabritiis, C. Marcelli, P. Montecchiari: Matematica zero, Pearson Italia, Milano-Torino (2016).
Ulteriore materiale didattico:
(sulla piattaforma Elly del Dipartimento di Scienze Matematiche, Fisiche ed Informatiche: https://elly2021.smfi.unipr.it MATEMATICA/FISICA, primo anno, ELEMENTI DI MATEMATICA)
Lezioni ed esercizi sulle conoscenze preliminari.
Lezioni dell’a.a. 2017-18.
Esercizi con soluzione.
Esercizi del Tutorato a.a. 17-18 e 18-19.
Compiti degli a.a. dal 2017-18 al 2020-21 con soluzione.
Metodi didattici
Le lezioni si svolgono in presenza.
Modulo didattico 1: Corsi di Laurea in Matematica e Fisica, 3 CFU, 28 ore in classe.
Il modulo si svolge dal 13 settembre al 1 ottobre 2021 con 14 ore la prima settimana, 8 la seconda e 6 ore la terza.
Nei venerdì 17 e 24 settembre sono previste due ore aggiuntive in aula dedicate ad esercitazioni guidate, con gli studenti che svolgono autonomamente o in piccoli gruppi degli esercizi proposti dal docente che passa tra i banchi aiutando nello svolgimento e chiarendo i dubbi. Il venerdì 1 ottobre sono previste 4 ore di ripasso comprendenti una simulazione d’esame.
Il primo appello d’esame per il Corso di Laurea in Fisica, coincidente con la prova parziale relativa al Modulo didattico 1 per il Corso di laurea in Matematica, è previsto il giorno 4 ottobre.
Modulo didattico 2: Corso di Laurea in Matematica, 3 CFU, 28 ore in classe.
Il modulo si svolge dal 20 settembre al 12 novembre 2021 con 2 ore la prima e la seconda settimana e 4 ore settimanali le successive sei settimane.
Al termine del corso è prevista una prova parziale relativa al Modulo didattico 2.
Per entrambi i moduli saranno disponibili le videoregistrazioni delle lezioni oppure altro materiale audio-video equivalente.
I docenti sono a disposizione in orario prestabilito per discutere insieme agli studenti il programma svolto a lezione; inoltre via mail è possibile richiedere chiarimenti o fissare ulteriori appuntamenti.
Ad inizio corso tutto il materiale relativo al Modulo didattico 1 sarà disponibile sulla piattaforma Elly, mentre il materiale didattico del Modulo didattico 2 verrà caricato settimanalmente.
Per scaricare il materiale è necessaria l’iscrizione al corso on-line.
Le lezioni caricate vengono considerate parte integrante del materiale didattico.
Si ricorda agli studenti non frequentanti di controllare il materiale didattico disponibile e le indicazioni fornite dal docente tramite la piattaforma Elly.
Modalità verifica apprendimento
La valutazione sommativa dell’apprendimento è effettuata tramite un esame finale scritto della durata di 3 ore e un quarto (2 ore e un quarto per il corso di Fisica); non sono permessi libri, appunti e calcolatrice.
L’esame si svolge in presenza.
Lo studente dovrà dimostrare di aver compreso, e di essere in grado di applicare, i concetti fondamentali di ogni argomento trattato.
La prova scritta prevede due momenti: una prova di conoscenza applicata per entrambi i Corsi di Laurea in Matematica e Fisica (programma del Modulo didattico 1) ed una prova teorico-pratica rivolta agli studenti del solo Corso di Laurea in Matematica (programma del Modulo didattico 2). Le due prove sono costituite da domande aperte.
Il punteggio è assegnato su 32 punti e l’esame risulta superato con una votazione finale di 18/30. La Lode viene assegnata con un punteggio maggiore o uguale a 31.
Il programma dei due Moduli è reperibile alla voce “PROGRAMMA ESTESO”.
Gli studenti con DSA/BES devono far pervenire ai docenti la relativa documentazione tramite gli uffici competenti.
I risultati dell’esame sono pubblicati sulla piattaforma Elly entro due settimane dalla data della prova scritta. Insieme all’esito vengono comunicati agli studenti gli orari nei quali sarà possibile visionare la prova scritta in presenza oppure online.
Altre informazioni
Questo corso (6CFU) è obbligatorio per il corso di laurea triennale in Matematica.
Il Modulo didattico 1 (3CFU) di questo corso è obbligatorio per il corso di laurea triennale in Fisica.
Il corso di Elementi di Matematica è propedeutico agli esami di Algebra e Analisi Matematica 1.
La frequenza al corso è obbligatoria (75%) per tutti gli studenti che non abbiano superato il test di autovalutazione oppure ne siano esonerati (ad esempio se hanno superato l’esame finale del Progetto CORDA con almeno 50 punti). Per la lista completa delle condizioni di esonero si vedano gli OFA (obblighi formativi aggiuntivi) nel Manifesto degli Studi 2021-22 alla voce ESONERO TEST VPI.
È comunque vivamente consigliata la frequenza al corso a tutti gli studenti.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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