Obiettivi formativi
Al termine del corso lo studente sarà in grado di:
- analizzare le proprietà geometriche di curve e superfici differenziabili nello spazio;
- comprendere i passaggi logici delle dimostrazioni;
- esprimere con rigore i concetti appresi.
Prerequisiti
Il corso utilizza nozioni di algebra lineare, topologia e analisi, ovvero gli argomenti svolti nei corsi di Geometria 1a-1b, Geometria 2a, Analisi 1a-1b.
Contenuti dell'insegnamento
Geometria delle curve e delle superfici nello spazio.
Programma esteso
Curve differenziali nello spazio: Definizione ed esempi. Lunghezza di una curva. Riparametrizzazione di una curva. Curve regolari. Formule di Frenet. Torsione e curvatura di una curva regolare. Torsione di una curva piana. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve.
Quadriche: Definizione ed esempi. Parametrizzazione. Piano tangente. Classificazione.
Superfici regolari: Definizione di superficie regolare nello spazio tridimensionale. Superfici grafico di una funzione. Superfici preimmagine di un valore regolare. Cambi di coordinate e funzioni lisce su superfici. Spazio tangente e differenziale di una funzione. Prima forma fondamentale e distorsione delle misure. Caratterizzazione della sfera tra le superfici regolari compatte. Campo normale e orientabilità.
Geometria della mappa di Gauss: Seconda forma fondamentale e curvatura. Significato geometrico della seconda forma fondamentale. Regolarità delle curvature. Hessiano di una funzione liscia. Lemma di Hilbert. Superfici di rotazione. Superfici rigate e sviluppabili. Superfici minime.
Geometria intrinseca: Isometrie. Parametrizzazioni conformi e parametrizzazioni che preservano le aree. Theorema Egregium. Derivata covariante e trasporto parallelo. Geodetiche. Geodetiche sulle superfici di rotazione. Le geodetiche come curve di minima distanza. Superfici a curvatura di Gauss costante. Teorema di Gauss-Bonnet.
Bibliografia
Vengono fornite le note del corso in pdf.
Il corso segue essenzialmente il libro:
[1] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover Publications, 2016.
Per approfondimenti si consigliano anche:
[2] M. Abate, F. Tovena, Curve e Superfici, Unitext, Springer, Milano, 2016.
[3] M. Abate, C. de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill Education, 2015.
[4] S. Kobayashi, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Springer 2019.
Metodi didattici
Il corso prevede l'esposizione formale e rigoroso degli argomenti tramite lezioni frontali svolte in aula in modalità tradizionale.
Le lezioni puramente teoriche si alterneranno a quelle applicative e di calcolo, durante le quali lo studente impara ad applicare la teoria alla risoluzione di determinati problemi concreti.
Durante la permanenza dell'emergenza sanitaria le lezioni potranno essere svolte a distanza o in modalità mista a seconda delle linee guida fornite dall'ateneo.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta (due-tre esercizi da svolgere in due ore e mezza) e una prova orale da svolgersi una settimana dopo lo scritto.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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