GEOMETRIA SUPERIORE 1
cod. 18873

Anno accademico 2020/21
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Adriano TOMASSINI
Settore scientifico disciplinare
Geometria (MAT/03)
Ambito
Formazione teorica avanzata
Tipologia attività formativa
Caratterizzante
72 ore
di attività frontali
9 crediti
sede:
insegnamento
in ITALIANO

Obiettivi formativi

Introduzione alla geometria complessa. Proprieta' coomologiche di varieta' complesse. Alla fine del corso, gli studenti avranno una certa familiarità con la teoria delle funzioni olomorfe di più variabili complesse, con il calcolo differenziale sulle varietà complesse e con la teoria di Hodge su varietà Hermitiane compatte. Saranno inoltre in grado di affrontare la risoluzione di problemi di natura teorica e pratica nell'area della geometria differenziale complessa.

Prerequisiti

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Contenuti dell'insegnamento

Geometria complessa

Programma esteso

1. Varieta' complesse.

1.1 Elementi di funzioni di piu' variabili complesse.
1.2 Varietà. complesse. Lo spazio proiettivo complesso. Tori complessi.
1.3 Strutture quasi complesse. Il teorema di Newlander-Nirenberg.
1.4 (p,q)-forme su varietà. complesse. L'operatore del-bar.
1.5 Il complesso di Dolbeault.

2. Fasci e coomologia.

2.1 Prefasci e fasci.
2.2 Coomologia di Cech.
2.3 Risoluzioni.

3. Varieta' Kaehleriane

3.1 Metriche Hermitiane e Kaehleriane.
3.2. Metriche Kaehleriane in coordinate. Esempi di varieta' Kaehleriane.
3.3. Curvatura di una varieta' Kaehleriana.
3.4 Proprietà coomologiche delle varietà Kaehleriane compatte.
3.5 Il d-del-bar Lemma.
3.6 Formalita' delle varieta' Kaehleriane compatte.
3.7 Prodotti di Massey.

4. Introduzione alla teoria delle deformazioni di strutture complesse.

4.1 Famiglie analitiche di varieta' complesse compatte.
4.2 Deformazioni infinitesime.
4.3 Algebre differenziali graduate.
4.4 L'operatore del-bar e l'equazione di Maurer-Cartan.
4.5. Il teorema di stabilita' di Kodaira e Spencer.

Bibliografia

J. Morrow, K. Kodaira, Complex manifolds. Reprint of the 1971 edition with
errata. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. x+194

D.Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction, Springer Universitext, 2014.

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni
Le lezioni saranno così organizzate:
in presenza con la possibilità di fruire le lezioni anche a distanza in modalità sincrona (via Teams). Per promuovere la partecipazione attiva al corso, potranno essere eventualmente proposte diverse attività sia individuali che a piccolo gruppo,
attraverso l’utilizzo delle risorse presenti in Elly. Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Sono previste esercitazioni mediante l'utilizzo della piattaforma elly. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di problemi concreti.

Modalità verifica apprendimento

L'esame finale consiste in una prova orale e nella risoluzione di esercizi assegnati durante il corso sulla piattaforma elly.
Qualora a causa del perdurare dell’emergenza sanitaria fosse
necessario integrare con la modalità a distanza lo svolgimento degli esami di profitto si procederà come segue:
interrogazioni orali a distanza.

Altre informazioni

Saranno assegnati dal docente esercizi e problemi da svolgere al di fuori delle ore di lezione. Saranno distribuite note dal docente.
Gli appunti del corso in formato PDF e tutto il materiale impiegato durante le lezioni e le esercitazioni sono resi disponili agli studenti sulla piattaforma per la didattica Elly.