Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Lo studente dovrà acquisire ottime conoscenze dei fondamenti della Meccanica Classica e della Fisica Matematica, attraverso lo studio dei metodi di modellizzazione di un sistema meccanico e dei limiti di applicabilità di tali modellizzazioni. Durante il corso lo studente acquisirà la conoscenza e la capacità di comprensione delle applicazioni di base della Matematica alla Fisica e approfondirà la conoscenza dei fondamenti teorici della Fisica Classica. Obiettivo del corso è inoltre rendere lo studente capace di leggere e comprendere testi anche avanzati di Meccanica Razionale e Fisica Matematica e di costruire e sviluppare argomenti di Matematica, e in particolare di Fisica Matematica, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Lo studente dovrà apprendere come applicare le conoscenze acquisite: per produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici pertinenti alla Meccanica Classica e alla Fisica Matematica non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi e a dare di tali risultati un’interpretazione fisica; per risolvere problemi di moderata difficoltà traendo profitto dalla formulazione simbolica; per formulare problemi di Meccanica Classica e di Fisica Matematica in una chiara e corretta forma matematica al fine di facilitare una loro analisi e risoluzione; per comprendere gli eventuali collegamenti tra i diversi settori e tematiche della Matematica, in particolare della Fisica Matematica, nonché tra queste e i settori delle altre discipline; per valutare e comprendere ed eventualmente proporre la formulazione di modelli fisici elementari.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche pertinenti agli aspetti teorici e metodologici della Meccanica Classica e della Fisica Matematica in generale, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, nonché di proporre una ragionevole interpretazione fisica di tali assunti e conclusioni. Inoltre lo studente sarà in grado di riconoscere dimostrazioni corrette e individuare ragionamenti fallaci, nonché di proporre e analizzare semplici modelli matematici associati a situazioni concrete derivanti da altre discipline, e di usare tali modelli per facilitare lo studio della situazione originale.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà acquisire il linguaggio specifico della Meccanica Classica e della Fisica Matematica e la capacità di lavorare su argomenti pertinenti alla Meccanica Classica e alla Fisica Matematica sia in autonomia che in gruppo, nonché la capacità di inserirsi facilmente in ambienti di studio e lavoro che si occupano di tali argomenti. Al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la Meccanica Classica e la Fisica Matematica sia ad un pubblico specializzato che ad un pubblico non specializzato, nella propria lingua e in inglese, sia in forma scritta che orale.
Capacità di apprendimento
Lo studente dovrà essere in grado di: proseguire negli studi, sia in Matematica che in altre discipline di tipo scientifico, con un alto grado di autonomia e con mentalità flessibile; di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente ad affrontare nuove problematiche; di recuperare con facilità informazioni dalla letteratura e dalle banche dati di settore; di acquisire nuove conoscenze nell'ambito della matematica o nell'ambito dell'attività lavorativa mediante la consultazione autonoma di testi specialistici, riviste scientifiche o divulgative.
Prerequisiti
Matematica di base del primo anno; propedeuticità obbligatorie: Analisi Matematica 1, Geometria 1
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente una formalizzazione matematica dei principi fondanti e delle applicazioni della Meccanica Classica, formalizzazione inquadrata nell’ambito delle conoscenze pregresse e in acquisizione di uno studente del secondo anno del corso di laurea in Matematica.
I contenuti proposti durante lo svolgimento delle lezioni riguardano: nella prima parte del corso, definizioni e proprietà di strutture matematiche atte alla modellizzazione di un fenomeno meccanico, nonché delle metodologie di calcolo tipiche di tali strutture; nella seconda parte del corso, aspetti teorici della Cinematica assoluta e relativa, principalmente orientati allo studio della Meccanica Classica ma con spunti riferibili anche ad altri contesti fisico—matematici come la Meccanica Impulsiva, la Relatività Ristretta o la Meccanica dei Continui; nella terza parte del corso, i tre principi fondazionali della Dinamica Classica e le relative applicazioni alla Statica e alla Dinamica del punto materiale e in generale dei sistemi con un numero finito di gradi di libertà, con particolare riguardo alla meccanica lagrangiana e hamiltoniana.
Programma esteso
1 - PREREQUISITI
1.1 Geometria e Algebra Lineare
1.1.1 Basi, vettori, e matrici di cambiamento
1.1.2 Applicazioni lineari fra spazi vettoriali
1.1.3 Strutture aggiuntive su spazi vettoriali
1.2 Analisi in Rn
1.2.1 Equazioni differenziali
1.2.2 Il Teorema di Dini della funzione implicita
1.2.3 Funzioni a valori vettoriali e loro integrazione
2 – NOZIONI MATEMATICHE PRELIMINARI
2.1 Spazi affini
2.2 Spostamenti rigidi
2.3 Vettori applicati
2.4 Analisi vettoriale
2.5 Proprietà differenziali delle curve in E3
3 – CINEMATICA
3.1 Cinematica assoluta
3.1.1 Cinematica del punto
3.1.2 Esempi di moti
3.2 Cinematica relativa
3.2.1 Formule fondamentali della Cinematica relativa
3.2.2 Moti rigidi. Atto di moto, teorema di Mozzi.
3.2.3 Moti rigidi particolari.
4 – DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
4.1 Potenza e lavoro di una forza
4.2 Dinamica del punto materiale libero
4.3 Dinamica del punto vincolato
4.4 Caratterizzazione costitutiva dei vincoli
4.5 Applicazioni e casistica
5 – SISTEMI MATERIALI
5.1 Baricentro di un sistema
5.2 Quantità meccaniche
5.3 Sollecitazioni, lavoro e potenza
5.4 Vincoli e loro classificazione
5.5 Vincoli cinetici
5.5.1 Moto di contatto fra due superfici rigide
5.6 Equazioni cardinali
6 – MECCANICA DEL CORPO RIGIDO
6.1 Tensore d’inerzia
6.2 Equazioni cardinali e corpo rigido
6.2.1 Corpo rigido libero
6.2.2 Corpo rigido con punto fisso ed equazioni di Eulero
6.2.3 Corpo rigido con asse fisso
6.2.4 Corpo rigido con asse scorrente
6.2.5 Corpo rigido con guida prismatica
6.2.6 Esempi particolari di moto
Bibliografia
Vengono fornite allo studente le dispense scritte dal docente del corso in formato pdf. Tale materiale copre integralmente i contenuti del corso. Allo studente desideroso di approfondire e confrontare differenti approcci e trattazioni dei medesimi argomenti fondazionali della Meccanica Classica si suggeriscono i testi: Mauro Fabrizio “Elementi di Meccanica Classica” – Zanichelli Editore; Levi Civita T., Amaldi U. (2013) “Lezioni di Meccanica Razionale”-- Ed. Compomat; Biscari P., Ruggeri T., Saccomandi G., Vianello M. “Meccanica Razionale” (3° edizione) -- Unitext Springer (2015); Goldstein H., Poole C., Safko J. “Meccanica Classica” – Zanichelli Editore.
Metodi didattici
Le attività didattiche saranno condotte tramite lezioni frontali in aula di tipo teorico alternate a lezioni frontali in aula aventi carattere di esercitazione. Durante le lezioni frontali di tipo teorico saranno esposti gli argomenti del corso da un punto di vista formale, al fine di favorire l’acquisizione dei principi fondazionali e delle metodologie di modellizzazione ed analisi caratteristiche della Meccanica Classica e della Fisica Matematica. Saranno inoltre esposti ed analizzati esempi di carattere strettamente teorico, al fine di illustrare i suddetti principi e modellizzazioni, e al fine di presentare formalmente le metodologie di calcolo e di interpretazione fisica dei risultati ottenuti. Durante le lezioni frontali con carattere di esercitazione, da considerarsi parte integrante ed essenziale dell’intero corso, saranno esposti ed analizzati esempi di carattere più pertinente ad aspetti applicativi, nel senso sia di una più lampante interpretabilità fisica dei risultati ottenuti, sia di una più efficiente capacità di utilizzo specifico delle metodologie di calcolo tipiche della Meccanica Classica e della Fisica Matematica.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento consiste in una prova scritta e una prova orale sull’intero programma sviluppato nell’ambito dei due moduli. Nella prova scritta, verrà illustrato e descritto allo studente un sistema meccanico, o più di uno, relativamente ai quali saranno poste alcune domande riguardo alle quantità meccaniche associate ai sistemi, alla determinazione di eventuali evoluzioni di quiete (Statica), alla determinazione e analisi delle equazioni pure di movimento, allo studio qualitativo dei moti risultanti, alla determinazione e analisi delle reazioni e sollecitazioni vincolari esercitate sui sistemi. La prova avrà durata di 3 ore dal momento della consegna del testo. Nella prova orale potrà venire richiesto allo studente di discutere lo svolgimento della prova scritta, e verranno posti quesiti tratti sia dalla soluzione di esercizi, sia dai contenuti teorici illustrati in aula e sui testi adottati relativamente all’intero programma del corso. La verifica si intenderà superata solo se entrambe le prove, scritta e orale, sono superate con valutazione sufficiente. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere la prova orale del solo appello cui la prova scritta si riferisce.
La prova scritta potrà essere superata anche con lo svolgimento sufficiente delle due prove parziali che verranno istituite durante l’anno al termine delle lezioni frontali di ogni semestre. Il superamento delle prove parziali dà diritto a sostenere la prova orale una sola volta nell’anno solare a cui le prove parziali si riferiscono.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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