Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali dell'analisi in più variabili e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati fornitigli o da lui ottenuti.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.
Prerequisiti
E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
4-Integrazione lungo curve.
5-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
6-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
Programma esteso
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
1.1 Prodotto scalare euclideo e sue proprietà.
1.2 Norma euclidea, sue proprietà e disuguaglianza di Schwarz.
1.3 Distanza euclidea, sue proprietà e sistema fondamentale di intorni di un punto.
1.4 Definizione di punto interno, di parte interna di un insieme, di insieme aperto e proprietà degli insiemi aperti.
1.5 Definizione di insieme chiuso e proprietà degli insiemi chiusi.
1.6 Definizione di punto di accumulazione, di punto isolato, di chiusura di un insieme, di punto di frontiera e di frontiera di un insieme.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
2.1 Definizione di limite di una successione vettoriale, di limite di una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali, unicità del limite, e proprietà dei limiti.
2.2 Definizione di continuità per una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali e proprietà delle funzioni continue.
2.3 Insiemi compatti,loro caratterizzazione e teorema di Weierstrass.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.1 Derivate parziali e derivate direzionali.
3.2 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori reali.
3.3 Teorema del differenziale totale.
3.4 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.5 Differenziabilità delle funzioni composte.
3.6 Derivate parziali di ordine superiore e teorema di Schwarz.
3.7 Formula di Taylor arrestata al secondo ordine.
3.8 Punti stazionari e condizione necessaria affinché un punto sia di minimo o massimo relativo interno.
3.9 La matrice Hessiana e condizione sufficiente affinché un punto sia di minimo (massimo) relativo interno.
3.10 Punti stazionari vincolati.
4-Integrazione lungo curve.
4.1 Curve parametriche.
4.2 Lunghezza di una curva.
4.3 Integrali di prima e seconda specie.
5-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
5.1 Definizione di funzione integrabile secondo Riemann su un insieme limitato regolare n-dimensionale e proprietà dell’integrale.
5.2 Teorema di riduzione degli integrali multipli.
5.3 Teorema del cambio di variabile negli integrali multipli.
6-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
6.1 Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui di ordine n.
6.2 Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy.
6.3 Metodo per la determinazione di n soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea a coefficienti costanti.
6.4 Metodo per la determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.
Bibliografia
Qualsiasi testo di Elementi di Analisi Matematica 2.
Dispense scritte dal docente saranno disponibili a fine corso.
Metodi didattici
La didattica si articolerà in lezioni frontali di teoria svolte dal docente alla lavagna e in esercitazioni atte ad illustrare ed applicare la teoria precedentemente svolta.
Modalità verifica apprendimento
Non sono previste prove in itinere.
E’ prevista una prova scritta finale della durata di tre ore e articolata in domande a risposta multipla ed esercizi a risposta aperta, sia di tipo computazionale che teorico. Dopo il superamento della prova scritta è previsto un colloquio orale obbligatorio che verte sulla discussione della prova scritta e sui risultati teorici utilizzati.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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