Obiettivi formativi
Uno dei principali scopi del corso è quello di fornire agli studenti i fondamenti che sono alla base dei metodi numerici più comuni utilizzati per la risoluzione di numerosi problemi applicativi, presentandone in modo critico i principali algoritmi e le loro proprietà quali convergenza, stabilità, accuratezza, complessità, utilizzando esempi e controesempi che permettono di illustrare i vantaggi ed i punti deboli dei suddetti metodi. Durante il corso, gli studenti saranno resi in grado di sperimentare gli algoritmi presentati in un ambiente software ampiamente utilizzato per il calcolo scientifico come MATLAB. Lo studente, al termine del corso, sarà in grado di utilizzare strumenti computazionali per comprendere, analizzare e risolvere problemi di moderata difficoltà in diversi ambiti della Matematica.
Prerequisiti
Nozioni di Analisi Matematica 1 e Algebra lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Analisi degli errori – Metodi numerici per la risoluzione di sistemi lineari: metodi diretti e cenno ai metodi iterativi - Cenno alla risoluzione numerica di equazioni non lineari - Interpolazione di dati e di funzioni mediante polinomi algebrici e splines – Integrazione numerica: formule di Newton-Cotes semplici e composte; estensioni - Equazioni differenziali ordinarie: metodi discreti ad un passo - Introduzione a Matlab
Programma esteso
Analisi degli errori: rappresentazione dei numeri in un calcolatore. Errori di arrotondamento. Operazioni di macchina. Cancellazione numerica. Condizionamento di un problema. Stabilità di un algoritmo.
Algebra Lineare Numerica: Norme matriciali – Condizionamento di un sistema lineare - Metodi diretti: il metodo di eliminazione di Gauss, decomposizione di Gauss e fattorizzazione PA=LU - Fattorizzazione di Cholesky - Calcolo della matrice inversa - Metodi diretti per matrici a banda - Cenno ai metodi iterativi: algoritmi di Jacobi e di Gauss-Seidel.
Cenno alla risoluzione numerica di equazioni non lineari: algoritmo dicotomico e algoritmo di Newton - Risultati di convergenza – Test di arresto.
Interpolazione di dati e di funzioni: interpolazione mediante polinomi algebrici - Formula di interpolazione di Lagrange - Formula di interpolazione di Hermite - Formula di Newton alle differenze divise - Teoremi sull’errore di interpolazione - Interpolazione generalizzata - Interpolazione mediante funzioni polinomiali a tratti e funzioni spline - Splines lineari e cubiche - Risultati di convergenza.
Integrazione numerica: Formule di quadratura interpolatorie - Integrazione secondo Newton-Cotes - Stima dell’errore - Formule composte - Teoremi di convergenza - Formule di quadratura adattive - Applicazioni agli integrali generalizzati.
Metodi numerici per ODE: Metodi one-step espliciti – Metodi dello sviluppo in serie - Metodi Runge-Kutta - Errore locale di troncamento – Stabilità e convergenza dei metodi one-step espliciti - Metodi one-step impliciti - Passo d’integrazione adattivo – Assoluta stabilità.
Introduzione a Matlab: Matlab come calcolatrice per array – Matlab come linguaggio di programmazione: cicli a contatore, cicli a condizione, test strutturati – Function file e script file – Le principali routines numeriche di Matlab – La grafica in Matlab.
Bibliografia
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio: Matematica Numerica, Springer, 2014.
G. Naldi, L. Pareschi, G.Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico. Metodi e applicazioni con Matlab, McGraw-Hill, 2003.
G. Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico, CLUT, 1998.
V. Comincioli: Analisi Numerica. Metodi Modelli Applicazioni, Mc Graw-Hill, 1995.
R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi Numerici, Zanichelli, 1992.
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi Numerici per l’Algebra lineare, Zanichelli, 1988.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercizi in aula. Esercitazioni numeriche con MATLAB in laboratorio informatico. Durante le lezioni di laboratorio saranno assegnati esercizi numerici e di programmazione. La presentazione delle soluzioni da parte degli studenti sarà presa in considerazione nella valutazione finale.
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta di laboratorio, seguita da un esame orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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