Obiettivi formativi
L'insegnamento si pone come obiettivo generale quello di fornire alcuni strumenti necessari a leggere e comprendere testi di Matematica e costruire e sviluppare argomenti di Matematica con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.
In particolare, ha lo scopo di fornire conoscenze della teoria delle curve, dei fondamenti della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa e dei fondamenti della geometria differenziale.
Prerequisiti
Algebra, Analisi 1, Geometria 1.
Contenuti dell'insegnamento
Geometria delle curve e delle superfici nello spazio euclideo tridimensionale. Proprietà elementari delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
Programma esteso
1. CURVE
1.1 Curve parametrizzate.
1.2 Curve regolari. Lunghezza d'arco.
1.3 Teoria locale delle curve. Curvatura e torsione.
1.4 Forma canonica.
2. SUPERFICIE
2.1 Superficie regolari. Immagini inverse di valori regolari. Cambiamento di parametri.
2.2 Il piano tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Curvatura normale.
2.3 Superficie orientabili. Mappa di Gauss.
2.4 Geometria della mappa di Gauss. Curvature principali. Linee di curvatura. Curvatura media e curvatura di Gauss.
3. GEOMETRIA INTRINSECA DELLE SUPERFICIE
3.1. Isometrie. Isometrie locali.
3.2 Il Teorema Egregium di Gauss e le equazioni di compatibilita'.
3.3 Il trasporto parallelo. Curve geodetiche.
4. PRIME PROPRIETA' DELLE FUNZIONI OLOMORFE DI UNA VARIABILE COMPLESSA.
4.1 Funzioni elementari: funzioni polinomiali, razionali, esponenziale complesso, funzione logaritmo, funzioni trigonometriche. Limiti. Continuita'.
4.2 Derivazione complessa. Le condizioni di Cauchy-Riemann.
4.3 Il Teorema di Cauchy. La formula di Cauchy. Disuguaglianze di Cauchy.
Bibliografia
[1] M. Abate, F. Tovena, Curves and Surfaces, Unitext, 55, Springer, Milano, 2012.
[2] H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Publications, Inc., New York, 1995. 228 pp.
[3] R. V. Churchill, Introduction to Complex Variables and Applications, McGraw- Hill Book Company, Inc., New York, 1948. vi+216 pp.
[4] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover Publications, 2016.
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta (o prove in itinere) e prova orale in date differenti.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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