Obiettivi formativi
Lo studente dovrebbe acquisire conoscenze e competenze relative alle nozioni di valori assoluti e valutazioni archimedee e non archimedee
ed al completamento di campi rispetto a tali valori assoluti e dovrebbe essere in grado di applicare tali conoscenze in particolare allo studio della struttura e delle proprietà dei campi p-adici.
Inoltre lo studente dovrebbe acquisire conoscenze e competenze relative alle estensioni di Galois di campi, ai relativi gruppi di Galois ed al Teorema fondamentale della teoria di Galois (finita o infinita) ed essere in grado di applicare tali conoscenze allo studio di estesioni di vario tipo (radicali, costruibili, cicliche, abeliane, ciclotomiche,...).
Al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici (relativi al programma svolto) con lessico scientifico specifico e appropriato e di approfondire autonomamente le proprie conoscenze sui campi locali e sulla teoria di Galois consultando la letteratura specialistica della materia.
Prerequisiti
Un corso base di Algebra (gruppi, anelli e campi).
Durante il corso vengono richiamati (se/quando necessario) alcuni risultati fondamentali di teoria dei gruppi (Teorema di Cauchy, Teorema di Sylow, Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati,...) e algebra commutativa (elementi algebrici, estensioni di campi, localizzazione, limiti inversi,...).
Contenuti dell'insegnamento
Il corso illustrerà principalmente i seguenti argomenti:
1. Valori assoluti e valutazioni archimedee e non archimedee, completamenti, campi p-adici Q_p .
2. Chiusura algebrica di un campo, separabilità ed inseparabilità, estensioni normali.
3. Teoria di Galois (estensioni finite ed infinite), esempi ed applicazioni.
Programma esteso
Valori assoluti e valutazioni archimedee e non archimedee, topologie indotte dai valori assoluti ed equivalenza tra valori assoluti, valori assoluti sui razionali (Teorema di Ostrowski). Completamenti, esistenza ed unicità del completamento rispetto ad un valore assoluto, anelli di valutazione. Campi p-adici Q_p , Lemma di Hensel e applicazioni: radici quadrate e radici dell'unità in Q_p . Struttura del gruppo moltiplicativo di Q_p , estensioni quadratiche di Q_p .
Chiusura algebrica di un campo: esistenza ed unicità, immersioni di un campo nella sua chiusura algebrica, estensione delle immersioni. Separabilità ed inseparabilità, estensioni separabili. Estensioni normali, campi di spezzamento.
Gruppo di Galois di un'estensione di campi, gruppo di Galois di un polinomio come sottogruppo delle permutazioni delle radici, funzioni simmetriche ed estensione con gruppo di Galois S_n . Teorema fondamentale della teoria di Galois, esempi: campi finiti, estensioni cicliche (Teoria di Kummer ed estensioni di Artin-Schreier), estensioni ciclotomiche.
Applicazioni: costruzioni con riga e compasso, poligoni regolari costruibili (Gauss), estensioni radicali, polinomi risolubili con radicali (Teorema di Abel), Teorema fondamentale dell'algebra.
Teoria di Galois infinita: topologia di Krull, gruppi profiniti come limite inverso di gruppi finiti, gruppi di Galois di estensioni infinite, Teorema fondamentale della teoria di Gaois infinita.
Problema inverso della teoria di Galois: costruzione di estensioni abeliane.
Durante il corso vengono richiamati (se/quando necessario) alcuni risultati fondamentali di teoria dei gruppi (Teorema di Cauchy, Teorema di Sylow, Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati,...) e algebra commutativa (elementi algebrici, estensioni di campi, localizzazione, limiti inversi,...).
Bibliografia
F. Q. Gouvea "p-adic numbers" Springer Universitext
J. Neukirch "Algebraic Number Theory" Springer Grund. der Math. Wissen. 322
I. Stewart "Galois Theory" Chapman & Hall/CRC Mathematics
S. Weintraub "Galois Theory" Springer Universitext
I. N. Herstein "Algebra" Editori Riuniti
Metodi didattici
Lo strumento didattico privilegiato per lo sviluppo delle conoscenze sono le lezioni frontali: il corso prevede 6 ore di didattica frontale a settimana, durante le quali vengono presentati gli argomenti teorici corredati da un'ampia gamma di esempi ad esercizi/applicazioni.
Il prendere appunti è visto come parte del processo d'apprendimento.
Le lezioni verranno videoregistrate e rese immediatamente disponibilli sulla piattaforma ELLY.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene con un esame orale su tutto il programma svolto a lezione e che comprende sia domande teoriche (definizioni, teoremi) sia lo svolgimento di esercizi. Lo studente dovrà dimostrare di conoscere e saper presentare gli argomenti del corso e di essere in grado di applicare tali strumenti allo studio di esempi concreti ed alla risoluzione degli esercizi.
La prova è superata se lo studente raggiunge un punteggio almeno pari a 18. Il voto massimo della prova è 33 e allo studente che nella prova ottiene un punteggio superiore a 30 viene attribuito il punteggio di 30 e lode.
Altre informazioni
Gli studenti che seguono il corso "Teoria di Galois" (1107151) di 6 crediti, hanno un programma ridotto che coincide con la sola parte di teoria di Galois e non prevede la parte riguardante valori assoluti e completamenti di campi. Ulteriori informazioni possono essere richieste direttamente al docente.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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