Obiettivi formativi
L'obiettivo primario di questo corso è quello di fornire allo studente un quadro completo della Matematica Numerica di base, sia dal punto di vista teorico che algoritmico, in modo che lo studente sviluppi la capacità di illustrare e discutere alcune applicazioni. Esso quindi va considerato quale naturale completamento del corso di Analisi Numerica proposto nel Corso di Laurea Triennale, al superamento del quale lo studente conoscerà gran parte dei metodi numerici fondamentali che saranno utili per poter proseguire l'approfondimento della materia e sarà in grado di affrontare nuovi problemi numerici nei successivi corsi dei diversi ambiti della Matematica Applicata.
Prerequisiti
Analisi Numerica
Contenuti dell'insegnamento
- Approssimazione di dati e funzioni.
- Integrazione numerica.
- Algebra lineare numerica.
- Ricerca di radici di equazioni e sistemi di equazioni non lineari.
- Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali.
- Risoluzione numerica di problemi ai limiti.
Programma esteso
- Approssimazione di dati e funzioni. Interpolazione trigonometrica. Interpolazione razionale. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati: caso continuo e caso discreto.
- Integrazione numerica. Polinomi ortogonali. Integrazione gaussiana su intervalli limitati e intervalli illimitati. Stime dell’errore. Integrazione in più dimensioni. Algoritmi adattivi.
- Algebra lineare numerica. Costruzione di metodi iterativi. I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel, del rilassamento e del sovrarilassamento. I metodi di Richardson. Il metodo del gradiente coniugato. GMRES e Bi_CGStab. Risultati di convergenza. Criteri di arresto.
- Approssimazione di autovalori e autovettori. Localizzazione geometrica. Stabilità e condizionamento. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse. Un metodo per il calcolo di autovalori di matrici simmetriche: il metodo delle successioni di Sturm. Trasformazioni di Householder. Riduzione di una matrice in forma di Hessemberg. I metodi LR e QR.
- Ricerca di radici di equazioni non lineari. Il metodo delle iterazioni di punto fisso. Risultati di convergenza. Criteri di arresto. Il metodo di Newton e sue varianti per sistemi di equazioni non lineari.
- Risoluzione numerica di ODE. Metodi multistep per la risoluzione di problemi di Cauchy. Consistenza, stabilità e convergenza. I metodi di Adams. Metodi Predictor-Corrector.
- Problemi ai limiti. Metodo di shooting, metodi alle differenze finite, metodo di Galerkin.
Bibliografia
A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri, Matematica Numerica, SPRINGER, (2008).
G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico, McGraw-Hill, (2001)
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali, verranno analizzati i contenuti del corso, mettendone in evidenza gli aspetti teorici congiuntamente agli aspetti algoritmici. Verranno inoltre illustrati e discussi numerosi risultati ottenuti applicando i metodi numerici presentati.
Le slides proiettate verranno caricate sul portale Elly al termine di ogni argomento.
Modalità verifica apprendimento
Tramite la stesura e la discussione di una tesina, comprendente una introduzione teorica al metodo numerico scelto per l'approssimazione della soluzione cercata e la presentazione dei risultati numerici ottenuti, lo studente raggiungerà una buona autonomia nell'affrontare la risoluzione di semplici problemi modello. I risultati dell'apprendimento saranno verificati tramite esame orale, in cui lo studente illustrerà il lavoro svolto durante la preparazione della tesina ed esporrà, a richiesta, il contenuto di alcune lezioni frontali.
Altre informazioni
Durante lo svolgimento del corso, si richiede allo studente di svolgere alcuni esercizi teorici e pratici, mediante l'ausilio del calcolatore e utilizzando il linguaggio Matlab, già introdotto nel corso di Analisi Numerica della Laurea Triennale.
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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