Obiettivi formativi
Il corso ha come oggetto l'introduzione dei concetti fondamentali e dei principali risultati di topologia generale e della teoria delle funzioni olomorfe di una variabile complessa.
In particolare,
1) le nozioni di spazio topologico, di sottospazio, di topologia prodotto e quoziente, di spazio compatto, connesso e connesso per archi, di spazio metrico, di gruppo topologico saranno introdotte;
2) le prime proprieta' elementari delle funzioni olomorfe di una variabile complessa, quali ad esempio le condizioni di Cauchy-Riemann, il Teorema e la Formula di Cauchy, il principio del prolungamento analitico, le serie di Laurent e la Teoria dei Residui saranno introdotti.
Prerequisiti
Geometria 1, Analisi 1, Algebra.
Contenuti dell'insegnamento
Topologia generale e introduzione alla topologia algebrica
Programma esteso
Spazi topologici. Spazi metrici. Applicazioni continue, omeomorfismi. Chiusura, parte interna, frontiera. Basi di aperti, sistema fondamentale di intorni, assiomi di numerabilita'. Sottospazi. Topologia prodotto. Topologia quoziente. Assiomi di separazione. Quasi compatteza e compattezza. il Teorema di Tychonoff. Connessione e connessione per archi. Spazi localmente connessi. Spazi metrici completi. Il Lemma di Baire. Estensioni di funzioni continue. Metrica della convergenza uniforme. Gruppi topologici. Gruppi di matrici. Omotopia. Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Gruppo fondamentale e applicazioni continue. Il gruppo fondamentale della circonferenza. I teoremi di Seifert e Van Kampen.
Bibliografia
V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di topologia generale, ed. - Milano, Feltrinelli, 1977. 242 pp.
E. Sernesi, Geometria 2, Torino Bollati Boringhieri, 1994.
V. Villani, Elementi di topologia generale
Metodi didattici
Il corso prevede 4 ore di didattica frontale a settimana più 2 ore di esercizi aggiuntivi. Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta (o prove in itinere) e prova orale in date differenti.
Altre informazioni
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