Obiettivi formativi
Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper lavorare con classi di equivalenza e insiemi quozienti. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche e le loro proprietà, in particolare i gruppi, gli anelli, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in concreto nell'anello degli interi, nell'anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo. Al termine del corso lo studente sarà in grado di utilizzare un appropriato linguaggio algebrico ed un formalismo matematico corretto per relazionare sugli argomenti presentati.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell'Algebra. Inizia con la Teoria ingenua degli insiemi: notazioni, operazioni tra insiemi e loro proprietà, corrispondenze e funzioni tra insiemi, relazioni su un insieme, insieme quoziente e costruzioni di Z e Q. Prosegue con l'aritmetica elementare sugli interi: algoritmo della divisione, M.C.D. e identità di Bézout, numeri primi e teorema fondamentale dell'Aritmetica, l'anello delle classi di resto modulo n, campi Zp, risoluzione di congruenze lineari e teorema cinese del resto, la funzione di Eulero e il teorema di Eulero. La seconda parte del corso è rivolta alla trattazione delle strutture algebriche con una o due operazioni. In particolare si introducono le argomenti elementari della teoria dei gruppi e primi esempi: il gruppo simmetrico Sn e i gruppi diedrali, classi laterali modulo un sottogruppo e teorema di Lagrange, isomorfismi tra gruppi e teorema di Cayley, omomorfismi, sottogruppi normali, gruppo quoziente e teorema d'omomorfismo, gruppi ciclici e azione di un gruppo su un insieme.
Nella terza parte del corso l'aritmetica su Z viene generalizzata ai polinomi e ad altri domini: costruzione e proprietà dell'anello dei polinomi in una variabile a coefficienti in un campo, irriducibilità di polinomi in C, R, Q e Zp, domini euclidei, domini principali e domini fattoriali. Il corso termina con la trattazione dei campi come strutture astratte che includono i casi di C,R, Q e Zp: estensioni algebriche di grado finito, teorema di estensione, campi di spezzamento di un polinomio e infine proprietà elementari e costruzione di campi finiti.
Programma esteso
• Teoria degli insiemi: notazioni, rappresentazione caratteristica, famiglie di insiemi. Operazioni tra insiemi e loro principali proprietà. Corrispondenze tra insiemi. Funzioni tra insiemi: funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Composizione di funzioni e proprietà relative.
• Relazioni in un insieme: relazioni d’ordine e di equivalenza. Insieme quoziente.
• Congruenze: prime proprietà e applicazioni. Risoluzione di congruenze lineari e teorema cinese del resto. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero. Numeri primi.
• Strutture algebriche: definizione di operazione interna su un insieme. Elemento neutro ed elementi simmetrizzabili. Prime proprietà delle strutture con una o due operazioni.
• I gruppi: definizione e primi esempi. Il gruppo simmetrico Sn . I gruppi diedrali. Classi laterali modulo un sottogruppo e Teorema di Lagrange. Isomorfismi tra gruppi e Teorema di Cayley. Omomorfismi, , coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Teorema d'omomorfismo . Gruppi ciclici. Azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Gruppi di permutazione. Formula di Burnside.
• L’anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Teorema fondamentale dell’aritmetica. L’anello delle classi di resto modulo n. Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero.
• L’anello dei polinomi: definizioni e costruzione dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un anello o in un campo. Proprietà dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Questioni di irriducibilità di polinomi in C , R , Q , Zp .
• Gli anelli: anello come struttura astratta che include i casi di Z, Zn e anello dei polinomi. Definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell’anello di polinomi su un campo. Congruenza modulo un polinomio. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Domini euclidei, domini principali e domini fattoriali. La caratteristica di un dominio di integrità.
• I campi: definizioni, esempi e proprietà generali. Campo come struttura astratta che include i casi di C, R, Q e Zp. Estensioni algebriche di grado finito. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Teorema di estensione di campi. Campi di spezzamento di un polinomio. Proprietà elementari e costruzione dei campi finiti.
Bibliografia
S.Franciosi, F.de Giovanni, ELEMENTI DI ALGEBRA - Aracne Editrice
M.Curzio, P.Longobardi,M.May, LEZIONI DI ALGEBRA - Liguori Editore
J. Stillwell, ELEMENTS OF ALGEBRA - Undergraduete Texts in Mathematics, Springer
G.M. Piacentini Cattaneo, ALGEBRA, Un approccio algoritmico - Zanichelli Editore
P. Di Martino, ALGEBRA, nuova edizione - Pisa University Press
Metodi didattici
Lo strumento didattico privilegiato per lo sviluppo di tali conoscenze sono le lezioni frontali e le esercitazioni. Il prendere appunti è visto come parte del processo d'apprendimento. Le sessioni d'esercitazioni sono viste come un mezzo molto efficace ed essenziale in Algebra dove la comprensione è acquisita attraverso la pratica e non attraverso la semplice memorizzazione. Spesso sono proposti esercizi da svolgere in modo autonomo, attraverso lo svolgimento dei quali gli studenti possono essere incoraggiati ad esplorare i limiti delle loro capacità.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene in forma classica attraverso la valutazione di un elaborato scritto e di un colloquio orale. Lo studente può svolgere 4 prove scritte intermedie durante il corso che valgono ai fini del superamento della prova scritta.
Nelle prove scritte, attraverso gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative allo studio delle strutture algebriche quali gruppi, anelli e campi con particolare riguardo allo studio degli anelli dei polinomi e alle proprietà dei campi finiti. Inoltre verrà richiesto allo studente di affrontare in modo autonomo problemi connessi alle teorie studiate. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di condurre autonomamente dimostrazioni relative a proprietà intrinseche delle strutture studiate utilizzando un appropriato linguaggio algebrico ed un formalismo matematico corretto
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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