ANALISI MATEMATICA 1 1° Modulo
cod. 1003929

Anno accademico 2016/17
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
LORENZI Luca Francesco Giuseppe
Settore scientifico disciplinare
Analisi matematica (MAT/05)
Campo
Formazione matematica di base
Tipologia attività formativa
Base
84 ore
di attività frontali
9 crediti
sede: PARMA
insegnamento
in - - -

Modulo dell'insegnamento integrato: ANALISI MATEMATICA 1

Obiettivi formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire le nozioni di base dell'Analisi Matematica.

Prerequisiti

Non ci sono prerequisiti

Contenuti dell'insegnamento

I numeri reali

Definizione assiomatica dei numeri reali, numeri razionali e irrazionali; massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; densità dei razionali nei reali; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; intervalli, distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni. Principio d'induzione; potenza del binomio.

Successioni e serie

Successioni di numeri reali, successioni convergenti, unicità del limite; successioni infinitesime, successioni divergenti; sottosuccessioni, criterio di non esistenza del limite; algebra dei limiti, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza. Serie convergenti, divergenti, indeterminate; serie a termini positivi: criterio di confronto, del rapporto, della radice; serie assolutamente convergenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometriche, serie telescopiche, serie armonica generalizzata e serie armonica a segni alterni.

Funzioni continue

Richiami sulle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche. Limiti di funzioni; limiti delle restrizioni, limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; limiti notevoli. Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema dei valori intermedi; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. Potenze con esponente reale.

Calcolo differenziale

Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teoremi di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda. Studio di funzione.

Programma esteso

1. I numeri reali.

Definizione assiomatica dei numeri reali, numeri razionali e irrazionali; massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; densità dei razionali nei reali; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; intervalli, distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni. Principio d'induzione; potenza del binomio.

2. Successioni e serie

Successioni di numeri reali, successioni convergenti, unicità del limite; successioni infinitesime, successioni divergenti; sottosuccessioni, criterio di non esistenza del limite; algebra dei limiti, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza. Serie convergenti, divergenti, indeterminate; serie a termini positivi: criterio di confronto, del rapporto, della radice; serie assolutamente convergenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometriche, serie telescopiche, serie armonica generalizzata e serie armonica a segni alterni.

3. Funzioni continue

Richiami sulle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche. Limiti di funzioni; limiti delle restrizioni, limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; limiti notevoli. Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema dei valori intermedi; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. Potenze con esponente reale.

4. Calcolo differenziale

Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teoremi di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda. Studio di funzione.

Bibliografia

Teoria
E. Acerbi, G. Buttazzo: Primo corso di Analisi Matematica, Pitagora Editore.

E. Acerbi, G. Buttazzo: Analisi Matematica ABC, Pitagora Editore.

E. Giusti "Analisi Matematica 1"
Boringhieri



Esercizi
Enrico Giusti "Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1" Boringhieri

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni.
Durante le lezioni verranno presentati i concetti base dell'analisi matematica per funzioni di una sola variabile, i principali risultati sulle successioni e
serie numeriche
Le esercitazioni hanno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.

Modalità verifica apprendimento

Esame congiunto con Analisi matematica 1 (secondo modulo).
L'esame consiste di una prova scritta (o prove in itinere) e prova orale in date differenti.
Sono previste alcune prove in itinere: se risultano tutte positive, lo studente è esonerato dalla prova scritta dell'seame.
Nella prova scritta (o nelle prove in itinere), verranno assegnati alcuni esercizi che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici
visti durante il corso in alcuni casi concreti.
La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni e l'acquisizione di un linguaggio specifico.

Altre informazioni

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