Obiettivi formativi
Definire e studiare gli anelli commutativi in generale ed in particolare anelli noetheriani e domini di Dedekind, con particolare attenzione alle loro estensioni (intere e non), a teoremi di struttura e di decomposizione (sia per ideali che per moduli).
Prerequisiti
Un corso di base di Algebra (gruppi anelli e campi).
Contenuti dell'insegnamento
Anelli, ideali e moduli.
Successioni esatte, localizzazione e prodotti tensoriali.
Anelli noetheriani, artiniani e domini di Dedekind.
Completamenti e teoria della dimensione.
Programma esteso
Anelli, ideali e moduli: definizioni di base, ideali primi e massimali, nilpotenti, moduli finitamente generati, omomorfismi, successioni esatte, lemma del serpente, estensione degli scalari (localizzazione e prodotto tensoriale).
Anelli noetheriani, artiniani e domini di Dedekind: definizione e proprietà, Teorema della base di Hilbert, estensioni intere, teoremi del going up e going down, decomposizione di ideali in intersezione di irriducibili, domini di Dedekind locali, fattorizzazione unica degli ideali in domini di Dedekind.
Completamenti: topologie, limiti diretti e inversi, completamenti I-adici, filtrazioni.
Teoria della dimensione: definizioni equivalenti di dimensione, dimensione di anelli locali noetheriani.
Quando possibile si cercherà di evidenziare la stretta relazione tra i risultati di algebra commutativa presentati ed i corrispondenti teoremi di geometria algebrica.
Bibliografia
M.F. Atiyah - I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra"
S. Lang "Algebra"
D Eisenbud "Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry"
Metodi didattici
Lo strumento didattico privilegiato per lo sviluppo di tali conoscenze sono le lezioni frontali.
Il prendere appunti è visto come parte del processo d'apprendimento.
Molti degli argomenti verranno presentati e/o approfonditi mediante i numerosi esercizi presenti nei testi di riferimento.
Modalità verifica apprendimento
Durante la prova orale lo studente dovrà dimostrare di conoscere e saper presentare gli argomenti del corso e di essere in grado di applicare tali strumenti allo studio di esempi concreti.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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