Obiettivi formativi
Uno dei principali scopi del corso è quello di fornire i fondamenti matematici alla base dei diversi metodi o algoritmi, richiamarne le principali proprietà teoriche: stabilità, accuratezza, complessità algoritmica, e mostrarne esempi e controesempi che ne illustrino i vantaggi ed i punti deboli. Si vuole inoltre sperimentare gli algoritmi presentati in un ambiente software semplice e abbastanza universale come MATLAB.
Prerequisiti
Nozioni di: Analisi Matematica 1 e Algebra lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Analisi degli errori – Approssimazione di dati e di funzioni – Integrazione Numerica: formule di Newton-Cotes – Integrali generalizzati – Cenno a formule per integrali in più dimensioni - Sistemi lineari: metodi diretti, fattorizzazioni, metodi iterativi – Equazioni non lineari -Equazioni differenziali ordinarie (metodi discreti ad un passo) -- Introduzione a Matlab
Programma esteso
Analisi degli errori, Rappresentazione dei numeri in un calcolatore, Errori di arrotondamento, Operazioni di macchina, Cancellazione numerica, Condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo.
Approssimazione di dati e di funzioni: Interpolazione polinomiale, Formula di interpolazione di Lagrange, Formula di interpolazione di Hermite, Formula di Newton alle differenze divise, Interpolazione di funzioni polinomiali a tratti, Funzioni spline, Interpolazione di funzioni di più variabili (cenno).
Integrazione Numerica: Formule di quadratura interpolatorie, Integrazione secondo Newton-Cotes, Stima dell’errore, Formule composte, Applicazioni delle formule di quadratura.
Algebra Lineare Numerica: metodi diretti, Il metodo di eliminazione di Gauss, Decomposizione di Gauss e fattorizzazione LU, Raffinamento iterativo, Matrice inversa. Metodi iterativi: Metodo di Jacobi, Metodo di Gauss-Seidel, Metodo di sovrarilassamento (SOR).
Equazioni e sistemi non lineari: radici reali di equazioni non lineari, metodo di bisezione, metodi delle secanti, delle tangenti (Newton-Raphson), Test di convergenza, metodi iterativi in generale, metodo di accelerazione di Aitken.
Equazioni differenziali ordinarie: metodi one-step espliciti, metodi Runge-Kutta, comportamento locale dei metodi one-step, Convergenza dei metodi one-step espliciti, Stima dell’errore locale di troncamento e scelta del passo d’integrazione. Metodi multistep (cenno). Stabilità dei metodi numerici.
Bibliografia
A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri: Matematica Numerica, Springer.
G.Naldi, Lorenzo Pareschi, G.Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico, McGraw-Hill.
G.Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico, CLUT.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercizi in aula. Esercitazioni MATLAB in laboratorio numerico. Correzione di esercizi assegnati individualmente
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta di laboratorio seguita da una prova orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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