Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è quello di fornire le nozioni di base della teoria della probabilità e della teoria della misura.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
1. Alcuni richiami di analisi combinatoria.
2. Assiomi della probabilità
3. Probabilità condizionata e indipendenza.
4. Probabilità in uno spazio numerabile.
5. Alcuni argomenti di teoria della misura.
Misure esterne. Costruzione di una misura. Teorema di Caratheodory. Misura di Lebesgue. Principali proprietà delle misure. Funzioni misurabili/variabili aleatorie. Funzioni integrabili. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou, Teorema di convergenza dominata. Spazi L^p. L^2 visto come spazio di Hilbert.
6. Variabili aleatorie (v.a.) indipendenti.
7. Distribuzioni di probabilità in R.
8. Distribuzioni di probabilità in R^n.
9. Funzioni caratteristiche e le loro proprietà.
10. Somma di v.a. indipendenti.
11. v.a. gaussiane.
12. Convergenza di v.a. (convergenza in probabilità, convergenza in distribuzione).
13. La legge dei grandi numeri.
14. Il teorema del limite centrale.
15. Speranza condizionata.
16 Martingale, sub- e supermartingale.
Programma esteso
1. Alcuni richiami di analisi combinatoria.
2. Assiomi della probabilità
3. Probabilità condizionata e indipendenza.
4. Probabilità in uno spazio numerabile.
5. Alcuni argomenti di teoria della misura.
Misure esterne. Costruzione di una misura. Teorema di Caratheodory. Misura di Lebesgue. Principali proprietà delle misure. Funzioni misurabili/variabili aleatorie. Funzioni integrabili. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou, Teorema di convergenza dominata. Spazi L^p. L^2 visto come spazio di Hilbert.
6. Variabili aleatorie (v.a.) indipendenti.
7. Distribuzioni di probabilità in R.
8. Distribuzioni di probabilità in R^n.
9. Funzioni caratteristiche e le loro proprietà.
10. Somma di v.a. indipendenti.
11. v.a. gaussiane.
12. Convergenza di v.a. (convergenza in probabilità, convergenza in distribuzione).
13. La legge dei grandi numeri.
14. Il teorema del limite centrale.
15. Speranza condizionata.
16 Martingale, sub- e supermartingale.
Bibliografia
J. Jacob, P. Protter: Probability essentials. Springer-Verlag, Berlino 2000.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
Modalità verifica apprendimento
Esame scritto ed esame orale
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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