Obiettivi formativi
Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper lavorare con classi di equivalenza e insiemi quozienti. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche e le loro proprietà, in particolare i gruppi, gli anelli, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in concreto nell'anello degli interi, nell'anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo.
Prerequisiti
- - -
Contenuti dell'insegnamento
• Teoria degli insiemi: notazioni, rappresentazione caratteristica, famiglie di insiemi. Operazioni tra insiemi e loro principali proprietà. Corrispondenze tra insiemi. Funzioni tra insiemi: funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Composizione di funzioni e proprietà relative.
• Relazioni in un insieme: relazioni d’ordine e di equivalenza. Insieme quoziente.
• Congruenze: prime proprietà e applicazioni. Risoluzione di congruenze lineari e teorema cinese del resto. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero. Numeri primi.
• Strutture algebriche: definizione di operazione interna su un insieme. Elemento neutro ed elementi simmetrizzabili. Prime proprietà delle strutture con una o due operazioni.
• I gruppi: definizione e primi esempi. Il gruppo simmetrico Sn . I gruppi diedrali. Classi laterali modulo un sottogruppo e Teorema di Lagrange. Isomorfismi tra gruppi e Teorema di Cayley. Omomorfismi, , coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Teorema d'omomorfismo . Gruppi ciclici. Azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Gruppi di permutazione. Formula di Burnside. Teorema di Cauchy e i teoremi di Sylow. Cenni sulla classificazione dei gruppi abeliani finiti.
• L’anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Teorema fondamentale dell’aritmetica. L’anello delle classi di resto modulo n. Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero.
• L’anello dei polinomi: definizioni e costruzione dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un anello o in un campo. Proprietà dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Questioni di irriducibilità di polinomi in C , R , Q , Zp . Cenni su polinomi ciclotomici e simmetrici e su polinomi in più variabili.
• Gli anelli: anello come struttura astratta che include i casi di Z, Zn e anello dei polinomi. Definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell’anello di polinomi su un campo. Congruenza modulo un polinomio. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Domini euclidei, domini principali e domini fattoriali. La caratteristica di un dominio di integrità.
• I campi: definizioni, esempi e proprietà generali. Campo come struttura astratta che include i casi di C, R, Q e Zp. Estensioni algebriche di grado finito. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Teorema di estensione di campi. Campi di spezzamento di un polinomio. Proprietà elementari e costruzione dei campi finiti.
Programma esteso
• Teoria degli insiemi: notazioni, rappresentazione caratteristica, famiglie di insiemi. Operazioni tra insiemi e loro principali proprietà. Corrispondenze tra insiemi. Funzioni tra insiemi: funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Composizione di funzioni e proprietà relative.
• Relazioni in un insieme: relazioni d’ordine e di equivalenza. Insieme quoziente.
• Congruenze: prime proprietà e applicazioni. Risoluzione di congruenze lineari e teorema cinese del resto. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero. Numeri primi.
• Strutture algebriche: definizione di operazione interna su un insieme. Elemento neutro ed elementi simmetrizzabili. Prime proprietà delle strutture con una o due operazioni.
• I gruppi: definizione e primi esempi. Il gruppo simmetrico Sn . I gruppi diedrali. Classi laterali modulo un sottogruppo e Teorema di Lagrange. Isomorfismi tra gruppi e Teorema di Cayley. Omomorfismi, , coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Teorema d'omomorfismo . Gruppi ciclici. Azione di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Gruppi di permutazione. Formula di Burnside.
• L’anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Teorema fondamentale dell’aritmetica. L’anello delle classi di resto modulo n. Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero.
• L’anello dei polinomi: definizioni e costruzione dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un anello o in un campo. Proprietà dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Questioni di irriducibilità di polinomi in C , R , Q , Zp .
• Gli anelli: anello come struttura astratta che include i casi di Z, Zn e anello dei polinomi. Definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell’anello di polinomi su un campo. Congruenza modulo un polinomio. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Domini euclidei, domini principali e domini fattoriali. La caratteristica di un dominio di integrità.
• I campi: definizioni, esempi e proprietà generali. Campo come struttura astratta che include i casi di C, R, Q e Zp. Estensioni algebriche di grado finito. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Teorema di estensione di campi. Campi di spezzamento di un polinomio. Proprietà elementari e costruzione dei campi finiti.
Bibliografia
S.Franciosi, F.de Giovanni, ELEMENTI DI ALGEBRA - Aracne Editrice
M.Curzio, P.Longobardi,M.May, LEZIONI DI ALGEBRA - Liguori Editore
J. Stillwell, ELEMENTS OF ALGEBRA - Undergraduete Texts in Mathematics, Springer
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Modalità verifica apprendimento
Vengono somministrate durante il corso 4 prove scritte intermedie che valgono ai fini del superamento della prova scritta. Prova orale.
Altre informazioni
- - -
Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
- - -
