Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere.
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative agli insiemi numerici N, Z, Q e R, alle successioni e serie numeriche e al calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale.
Questo insegnamento concorre a rendere lo studente in grado di leggere
e comprendere testi anche avanzati di Matematica, e di consultare
articoli di ricerca in Matematica
Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Attraverso le esercitazioni svolte in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti, quali ad esempio problemi di ottimizzazione.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri, e di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni.
Capacità comunicative.
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato. Questo insegnamento contribuisce a rendere lo studente in grado di lavorare sia in autonomia che in gruppo e di inserirsi facilmente in diversi ambienti di lavoro.
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito delle successioni numeriche e del calcolo differenziale per funzioni di una sola variabile, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente la preparazione degli altri esami del corso di laurea in cui vengono usate nozioni di Analisi Matematica. L'insegnamento contribuisce a dare allo studente una mentalità flessibile che gli permette di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente ad affrontare nuove problematiche. Contribuisce inoltre, assieme ad altri insegnamenti del Corso di Laurea, a rendere lo studente in grado di acquisire nuove conoscenze nell'ambito della matematica o nell'ambito dell'attività lavorativa mediante uno studio autonomo. Infine contribuisce a rendere lo studente in grado di proseguire gli studi, sia in Matematica che in altre discipline di tipo
scientifico, con un alto grado di autonomia.
Prerequisiti
Elementi di Matematica
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente nozioni fondamentali sugli insiemi numerici e i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile, delle successioni e serie numeriche.
Programma esteso
1. I numeri reali.
Definizione assiomatica dei numeri reali, numeri razionali e irrazionali; massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; densità dei razionali nei reali; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; intervalli, distanza, intorni, punti di accumulazione, punti isolati, punti interni. Principio d'induzione; potenza del binomio.
2. Successioni di numeri reali.
Il concetto di successione, successioni convergenti, unicità del limite; successioni infinitesime, successioni divergenti; sottosuccessioni, criterio di non esistenza del limite; algebra dei limiti, teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; successioni monotone; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza. Successioni di Cauchy. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
3. Funzioni e limiti.
Richiami sulle funzioni: funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche. Limiti di funzioni; limiti delle restrizioni, limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone; limiti notevoli.
4. Continuità.
Il concetto di funzione continua, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema dei valori intermedi; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. Potenze con esponente reale.
5. Calcolo differenziale.
Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico della derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teoremi di Cauchy e di De l'Hopital. Formule di Taylor con resto di Peano e Lagrange.
6. Convessità.
Convessità: Insiemi e funzioni convesse, monotonia dei rapporti incrementali, relazione tra convessità, derivata prima e segno della derivata seconda. Rette e semirette tangenti.
7. Teoria dell'integrale di Riemann.
Partizioni di un intervallo; somme superiori ed inferiori, funzioni integrabili in un intervallo, integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; teorema della media integrale; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali.
8. Serie numeriche.
Serie convergenti, divergenti, indeterminate; serie a termini positivi: criterio di confronto, del rapporto, della radice; serie assolutamente convergenti; serie a termini di segno alterno, criterio di Leibniz; esempi: serie geometrica, serie telescopiche, serie armonica generalizzata e serie armonica a segni alterni.
9. Integrali generalizzati:
Definizioni per intervalli limitati e per intervalli illimitati; funzioni sommabili; criteri di convergenza; criterio dell'integrale per le serie numeriche.
10. Funzioni uniformemente continue;
Il concetto di funzione uniformemente continua, il teorema di Heine-Borel; estensione al bordo di funzioni UC, funzioni Lipschitziane; dimostrazione dell’integrabilità delle funzioni continue.
11. Complementi.
Limiti inferiori e superiori di successioni. Funzioni convesse come funzioni integrali di funzioni crescenti.
Bibliografia
Teoria
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 - Analisi Matematica 1, Ed. Esculapio, 2022.
E. Acerbi, G. Buttazzo: Primo corso di Analisi Matematica, Universitas Ed. Parma, 2023.
Esercizi
D. Addona, B. Gariboldi, L. Lorenzi: AM1 - Analisi Matematica 1 - Esercizi, Ed. Esculapio, 2023.
S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di Analisi matematica 1, Ed. Zanichelli, 2023.
Metodi didattici
Il corso prevede 5 ore di lezioni/esercitazioni alla settimana.
Durante le lezioni frontali verranno illustrate le proprietà fondamentali degli insiemi numerici e verranno presentati i concetti base dell'analisi matematica per funzioni di una sola variabile, i principali risultati sulle successioni e serie numeriche.
Le esercitazioni hanno lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.
Le lezioni del primo semestre verranno svolte utilizzando un tablet pc che permette di proiettare su uno schermo gli appunti scritti a lezione dal docente e di pubblicare al termine di ogni singola lezione, sul sito elly dedicato, un file pdf con quanto scritto a lezione.
Le lezioni del secondo semestre saranno tenute in modalità tradizionale usando una lavagna.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e prova orale in date differenti.
È prevista una prova in itinere relativa al primo modulo la cui data sarà comunicata appena possibile. Per gli studenti che avranno superato la prova parziale
prevista nel primo modulo dell’insegnamento, la prova scritta sarà relativa solo programma del secondo modulo e il voto finale della prova scritta sarà la media dei voti dei test parziali
Nella prova scritta (o nella prova in itinere), verranno assegnati alcuni esercizi (indicativamente 3 o 4) che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici visti durante il corso in alcuni casi concreti. Il voto della prova scritta è espresso in 30esimi e lo studente è ammesso all'orale se totalizza almeno 18 punti nella prova scritta (o almeno 18 punti in entrambe le prove in itinere).
La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni, l'acquisizione di un linguaggio specifico e la conoscenza degli argomenti non presenti nella prova scritta. Il voto finale è dato dalla media pesata del voto della parte scritta e della parte orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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